Докажи, что среднее геометрическое двух отрезков, не превосходит его среднего арифметического
Давайте разберем задачу о том, что среднее геометрическое двух отрезков не превосходит их среднего арифметического.
Для начала введем необходимые определения:
Среднее арифметическое двух чисел \( a \) и \( b \) вычисляется по формуле: \[ A = \frac{a + b}{2} \]
Среднее геометрическое двух чисел \( a \) и \( b \) вычисляется по формуле: \[ G = \sqrt{ab} \]
Чтобы доказать, что \( G \leq A \), нам нужно показать, что: \[ \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \]
Теперь мы можем преобразовать неравенство, чтобы продемонстрировать его истинность:
Умножим обе стороны на 2 (помним, что 2 > 0, поэтому знак неравенства не изменится): \[ 2\sqrt{ab} \leq a + b \]
Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы убрать корень. Однако, для этого шага нужно учесть, что при возведении в квадрат неравенства, мы должны убедиться, что обе стороны положительные. \( \sqrt{ab} \) будет действительным, если \( a \geq 0 \) и \( b \geq 0 \). Принимаем, что \( a \) и \( b \) – это положительные числа: \[ (2\sqrt{ab})^2 \leq (a + b)^2 \] Это приводит к: \[ 4ab \leq a^2 + 2ab + b^2 \]
Переносим \( 4ab \) в правую часть: \[ 0 \leq a^2 - 2ab + b^2 \]
Заметим, что выражение \( a^2 - 2ab + b^2 \) можно записать как: \[ (a - b)^2 \]
В итоге мы получаем: \[ 0 \leq (a - b)^2 \] Это неравенство всегда верно, так как квадрат любого числа неотрицателен.
Таким образом, мы доказали, что: \[ \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \] что и подтверждает, что среднее геометрическое двух отрезков не превосходит их среднего арифметического.
