Реши задачи на фото

Давайте разберём каждую задачу по порядку.

1. Диагонали ромба \( ABCD \) пересекаются в точке \( O \) и равны 12 и 16.

Найдите:

a) длину вектора \( \overrightarrow{AO} \) b) длину вектора \( \overrightarrow{BO} \).

Решение:

Для ромба диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.

а) Диагонали делятся пополам, следовательно, \( \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \).

б) Аналогично, \( \overrightarrow{BO} = \frac{1}{2} \times 16 = 8 \).

2. Стороны правильного треугольника \( ABC \) равны 3. Найдите длину вектора \( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \).

Решение:

Сначала вычисляем координаты точек. Пусть \( A = (0, 0) \), \( B = (3, 0) \), а \( C \) найдём из того, что равнобедренный треугольник с основанием на оси Х и высотой на оси Y. Высота равностороннего треугольника со стороной 3 будет:

\[ h = \sqrt{3^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{9 - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \]

Значит, \( C \) имеет координаты \( \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \).

Теперь вычислим \( \overrightarrow{AC} \):

\[ \overrightarrow{AC} = \left(\frac{3}{2} - 0, \frac{3\sqrt{3}}{2} - 0\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \]

Теперь вектор \( \overrightarrow{AB} \):

\[ \overrightarrow{AB} = (3 - 0, 0 - 0) = (3, 0) \]

Теперь рассчитаем \( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \):

\[ (3, 0) - \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) = \left(3 - \frac{3}{2}, 0 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \]

Теперь найдём длину получившегося вектора:

\[ \left|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{9} = 3 \]

3. Диагонали ромба \( ABCD \) равны 12 и 16. Найдите длину вектора \( \overrightarrow{AB} \).

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Используем теорему Пифагора для половин диагоналей:

\[ \text{Полу-диагонали: } \frac{12}{2} = 6 \text{ и } \frac{16}{2} = 8 \]

\[ AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

Итак, длина вектора \( \overrightarrow{AB} \) равна 10.

Эти решения должны помочь вам лучше понять каждую из задач. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!