выполнить все задания с решением

Давайте разберем задачи теста по теме "Последовательность. Арифметическая прогрессия" шаг за шагом.

A1

Пусть \( a_n \) — последовательность квадратов натуральных чисел. Какое из чисел не является членом этой последовательности?

Члены последовательности: 1, 4, 9, 16, 25, ...

Квадратные числа — это числа, которые можно представить в виде \( n^2 \), где \( n \) — натуральное число.

1. \( 121 = 11^2 \) — квадратное.
2. \( 384 \) не является квадратным числом.
3. \( 400 = 20^2 \) — квадратное.
4. \( 169 = 13^2 \) — квадратное.

Ответ: 384.

A2

Последовательность задана рекуррентной формулой \( a_{k+2} = a_k - 2 \), при условии \( a_1 = 5 \). Какое из чисел встречается среди первых восьми членов этой последовательности?

Рассмотрим выполнение:

• \( a_1 = 5 \)
• \( a_2 = 5 - 2 = 3 \)
• \( a_3 = 3 - 2 = 1 \)
• \( a_4 = 1 - 2 = -1 \)
• \( a_5 = 5 - 2 = 3 \)
• \( a_6 = 3 - 2 = 1 \)
• \( a_7 = 1 - 2 = -1 \)
• \( a_8 = 5 - 2 = 3 \)

Ответ: 3.

A3

Из арифметической прогрессии выберите те, которые убывают.

Арифметическая прогрессия убывает, если разность \( d < 0 \).

1. \( b_n = 2 + 3n \) — возрастающая (d = 3).
2. \( c_n = 10 - 2n \) — убывающая (d = -2).
3. \( d_n = n/2 + 1 \) — возрастающая (d = 0.5).
4. \( e_n = 2(10 - n) \) — уменьшается (d = -2).

Ответ: \( c_n = 10 - 2n \) и \( e_n = 2(10-n) \).

A4

Найдите разность арифметической прогрессии \( p_n \), если \( p_1 = 1/3 \), а \( p_5 = 7 \).

Формула \( n \)-го члена: \( p_n = p_1 + (n-1)d \).

Построим уравнение:

\[ 7 = \frac{1}{3} + (5-1)d \] \[ 7 = \frac{1}{3} + 4d \] \[ 7 - \frac{1}{3} = 4d \] \[ \frac{20}{3} = 4d \]

Решаем уравнение:

\[ d = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \]

Ответ: \(\frac{5}{3}\).

B1

Первый член арифметической прогрессии равен 8, разность равна 4. С каким порядковым номером член прогрессии равен 84?

Формула: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

\[ 84 = 8 + (n-1) \times 4 \] \[ 84 - 8 = 4(n-1) \] \[ 76 = 4(n-1) \] \[ 19 = n-1 \] \[ n = 20 \]

Ответ: 20.

C1

Последовательности \( x_n \) и \( y_n \) заданы формулами: \( x_n = 3n+1 \) и \( y_n = n+5 \). Чему равно \( y_{n_0} \), если \( x_{n_0} = y_{n_0} \)?

Уравнение перехода:

\[ 3n + 1 = n + 5 \] \[ 2n = 4 \] \[ n = 2 \]

Подставляем в \( y_n \):

\[ y_2 = 2 + 5 = 7 \]

Ответ: 7.