Выполнить все задания с решением

Давайте разберем задачи теста по теме "Последовательность. Арифметическая прогрессия" шаг за шагом. ### A1 Пусть \( a_n \) — последовательность квадратов натуральных чисел. Какое из чисел не является членом этой последовательности? Члены последовательности: 1, 4, 9, 16, 25, ... Квадратные числа — это числа, которые можно представить в виде \( n^2 \), где \( n \) — натуральное число. 1. \( 121 = 11^2 \) — квадратное. 2. \( 384 \) не является квадратным числом. 3. \( 400 = 20^2 \) — квадратное. 4. \( 169 = 13^2 \) — квадратное. **Ответ: 384.** ### A2 Последовательность задана рекуррентной формулой \( a_{k+2} = a_k - 2 \), при условии \( a_1 = 5 \). Какое из чисел встречается среди первых восьми членов этой последовательности? Рассмотрим выполнение: - \( a_1 = 5 \) - \( a_2 = 5 - 2 = 3 \) - \( a_3 = 3 - 2 = 1 \) - \( a_4 = 1 - 2 = -1 \) - \( a_5 = 5 - 2 = 3 \) - \( a_6 = 3 - 2 = 1 \) - \( a_7 = 1 - 2 = -1 \) - \( a_8 = 5 - 2 = 3 \) **Ответ: 3.** ### A3 Из арифметической прогрессии выберите те, которые убывают. Арифметическая прогрессия убывает, если разность \( d < 0 \). 1. \( b_n = 2 + 3n \) — возрастающая (d = 3). 2. \( c_n = 10 - 2n \) — убывающая (d = -2). 3. \( d_n = n/2 + 1 \) — возрастающая (d = 0.5). 4. \( e_n = 2(10 - n) \) — уменьшается (d = -2). **Ответ: \( c_n = 10 - 2n \) и \( e_n = 2(10-n) \).** ### A4 Найдите разность арифметической прогрессии \( p_n \), если \( p_1 = 1/3 \), а \( p_5 = 7 \). Формула \( n \)-го члена: \( p_n = p_1 + (n-1)d \). Построим уравнение: \[ 7 = \frac{1}{3} + (5-1)d \] \[ 7 = \frac{1}{3} + 4d \] \[ 7 - \frac{1}{3} = 4d \] \[ \frac{20}{3} = 4d \] Решаем уравнение: \[ d = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \] **Ответ: \(\frac{5}{3}\).** ### B1 Первый член арифметической прогрессии равен 8, разность равна 4. С каким порядковым номером член прогрессии равен 84? Формула: \( a_n = a_1 + (n-1)d \). \[ 84 = 8 + (n-1) \times 4 \] \[ 84 - 8 = 4(n-1) \] \[ 76 = 4(n-1) \] \[ 19 = n-1 \] \[ n = 20 \] **Ответ: 20.** ### C1 Последовательности \( x_n \) и \( y_n \) заданы формулами: \( x_n = 3n+1 \) и \( y_n = n+5 \). Чему равно \( y_{n_0} \), если \( x_{n_0} = y_{n_0} \)? Уравнение перехода: \[ 3n + 1 = n + 5 \] \[ 2n = 4 \] \[ n = 2 \] Подставляем в \( y_n \): \[ y_2 = 2 + 5 = 7 \] **Ответ: 7.**