Решите систему уравнений: { y 2 − y − 2 = 0 , x 2 + y 2 = 4 . \displaystyle\left\{\begin{aligned}y^2-y-2=0{\small,}\\x^2+y^2=4{\small.}\end{aligned}\right. { y 2 −y−2=0, x 2 +y 2 =4. В ответе укажите три решения системы:

Давайте решим систему уравнений: \[ \begin{cases} y^2 - y - 2 = 0 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases} \] ### Шаг 1: Решим первое уравнение Первое уравнение – это квадратное уравнение: \[ y^2 - y - 2 = 0 \] Мы можем решить его, используя формулу для корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -2\). Подставим значения в формулу: 1. Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] 2. Находим корни: \[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Это даст нам два решения: \[ y_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ y_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] Таким образом, у нас есть два значения для \(y\): \(y = 2\) и \(y = -1\). ### Шаг 2: Подставим значения \(y\) во второе уравнение Теперь подставим найденные значения \(y\) во второе уравнение: \[ x^2 + y^2 = 4 \] #### Для \(y = 2\): Подставляем \(y = 2\): \[ x^2 + 2^2 = 4 \] Это уравнение сводится к: \[ x^2 + 4 = 4 \] \[ x^2 = 0 \implies x = 0 \] Мы получили одно решение: \((0, 2)\). #### Для \(y = -1\): Теперь подставляем \(y = -1\): \[ x^2 + (-1)^2 = 4 \] Это уравнение также можно свести к: \[ x^2 + 1 = 4 \] \[ x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} \] Мы получили два решения: \((\sqrt{3}, -1)\) и \((- \sqrt{3}, -1)\). ### Шаг 3: Сводим все решения Таким образом, у нас есть три решения системы: 1. \((0, 2)\) 2. \((\sqrt{3}, -1)\) 3. \((- \sqrt{3}, -1)\) Итак, окончательный ответ: **Решения системы уравнений:** 1. \((0, 2)\) 2. \((\sqrt{3}, -1)\) 3. \((- \sqrt{3}, -1)\)