Решите систему уравнений: { y 2 − y − 2 = 0 , x 2 + y 2 = 4 . \displaystyle\left\{\begin{aligned}y^2-y-2=0{\small,}\\x^2+y^2=4{\small.}\end{aligned}\right. { y 2 −y−2=0, x 2 +y 2…

Давайте решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} y^2 - y - 2 = 0 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases} \]

Шаг 1: Решим первое уравнение

Первое уравнение – это квадратное уравнение:

\[ y^2 - y - 2 = 0 \]

Мы можем решить его, используя формулу для корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -2\). Подставим значения в формулу:

1. Находим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

2. Находим корни:

\[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2} \]

Это даст нам два решения:

\[ y_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ y_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]

Таким образом, у нас есть два значения для \(y\): \(y = 2\) и \(y = -1\).

Шаг 2: Подставим значения \(y\) во второе уравнение

Теперь подставим найденные значения \(y\) во второе уравнение:

\[ x^2 + y^2 = 4 \]

Для \(y = 2\):

Подставляем \(y = 2\):

\[ x^2 + 2^2 = 4 \]

Это уравнение сводится к:

\[ x^2 + 4 = 4 \] \[ x^2 = 0 \implies x = 0 \]

Мы получили одно решение: \((0, 2)\).

Для \(y = -1\):

Теперь подставляем \(y = -1\):

\[ x^2 + (-1)^2 = 4 \]

Это уравнение также можно свести к:

\[ x^2 + 1 = 4 \] \[ x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} \]

Мы получили два решения: \((\sqrt{3}, -1)\) и \((- \sqrt{3}, -1)\).

Шаг 3: Сводим все решения

Таким образом, у нас есть три решения системы:

1. \((0, 2)\)
2. \((\sqrt{3}, -1)\)
3. \((- \sqrt{3}, -1)\)

Итак, окончательный ответ:

Решения системы уравнений:

1. \((0, 2)\)
2. \((\sqrt{3}, -1)\)
3. \((- \sqrt{3}, -1)\)