Пете, Васе и Толе выдали одинаковые наборы из пяти карточек: 1, 4, 5, 6, 13. Каждый случайно выбирает одну из своих карточек и выкладывает на стол. Найдите вероятность того, что…

Чтобы произведение чисел на карточках Пети, Васи и Толи было простым числом, оно должно быть состоящим из двух множителей, один из которых — 1, а другой — простое число. Все карты имеют числа 1, 4, 5, 6 и 13.

Простые числа среди этих карточек:

• 5
• 13

Таким образом, для получения простого произведения один из участников должен выбрать 1, а другой — одно из простых чисел, 5 или 13.

Рассмотрим возможные комбинации:

1. Один выбирает 1, другой — 5:

   • Петя: 1, Вася: 5 (Толя может выбрать любую карту) → произведение 5 (просто)
   • Петя: 5, Вася: 1 (Толя может выбрать любую карту) → произведение 5 (просто)

2. Один выбирает 1, другой — 13:

   • Петя: 1, Вася: 13 (Толя может выбрать любую карту) → произведение 13 (просто)
   • Петя: 13, Вася: 1 (Толя может выбрать любую карту) → произведение 13 (просто)

Таким образом, комбинации по количеству, которые дают простое число:

• (1, 5)
• (5, 1)
• (1, 13)
• (13, 1)

Каждый игрок может выбрать любую из 5 карточек, поэтому общее количество исходов: \( 5 \times 5 \times 5 = 125 \).

Теперь рассчитаем количество благоприятных исходов. Если один игрок выбирает 1, то у другого остаются 4 различных карточки (5 или 13). Давайте рассчитаем всё:

Для случая (1 и 5):

1. Петя выбирает 1, Вася выбирает 5 — у Толи 5 вариантов.
2. Петя выбирает 5, Вася выбирает 1 — у Толи 5 вариантов. Это дает 2 случая, каждый с 5 возможностями от Толи, итого \( 2 \times 5 = 10 \).

Для случая (1 и 13):

1. Петя выбирает 1, Вася выбирает 13 — у Толи 5 вариантов.
2. Петя выбирает 13, Вася выбирает 1 — у Толи 5 вариантов. Это также дает 2 случая, которые дают \( 2 \times 5 = 10 \).

Итак, общее количество благоприятных случаев: 10 (для 5) + 10 (для 13) = 20 благоприятных исходов.

Теперь вероятность: \[ P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{20}{125} = \frac{4}{25}. \]

Таким образом, вероятность того, что произведение чисел на карточках — простое число, равна \(\frac{4}{25}\).