Чтобы произведение чисел на карточках Пети, Васи и Толи было простым числом, оно должно быть состоящим из двух множителей, один из которых — 1, а другой — простое число. Все карты имеют числа 1, 4, 5, 6 и 13.
Простые числа среди этих карточек:
Таким образом, для получения простого произведения один из участников должен выбрать 1, а другой — одно из простых чисел, 5 или 13.
Рассмотрим возможные комбинации:
Один выбирает 1, другой — 5:
- Петя: 1, Вася: 5 (Толя может выбрать любую карту) → произведение 5 (просто)
- Петя: 5, Вася: 1 (Толя может выбрать любую карту) → произведение 5 (просто)
Один выбирает 1, другой — 13:
- Петя: 1, Вася: 13 (Толя может выбрать любую карту) → произведение 13 (просто)
- Петя: 13, Вася: 1 (Толя может выбрать любую карту) → произведение 13 (просто)
Таким образом, комбинации по количеству, которые дают простое число:
- (1, 5)
- (5, 1)
- (1, 13)
- (13, 1)
Каждый игрок может выбрать любую из 5 карточек, поэтому общее количество исходов: ( 5 \times 5 \times 5 = 125 ).
Теперь рассчитаем количество благоприятных исходов. Если один игрок выбирает 1, то у другого остаются 4 различных карточки (5 или 13). Давайте рассчитаем всё:
Для случая (1 и 5):
- Петя выбирает 1, Вася выбирает 5 — у Толи 5 вариантов.
- Петя выбирает 5, Вася выбирает 1 — у Толи 5 вариантов.
Это дает 2 случая, каждый с 5 возможностями от Толи, итого ( 2 \times 5 = 10 ).
Для случая (1 и 13):
- Петя выбирает 1, Вася выбирает 13 — у Толи 5 вариантов.
- Петя выбирает 13, Вася выбирает 1 — у Толи 5 вариантов.
Это также дает 2 случая, которые дают ( 2 \times 5 = 10 ).
Итак, общее количество благоприятных случаев:
10 (для 5) + 10 (для 13) = 20 благоприятных исходов.
Теперь вероятность:
[
P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{20}{125} = \frac{4}{25}.
]
Таким образом, вероятность того, что произведение чисел на карточках — простое число, равна (\frac{4}{25}).
