Пете, Васе и Толе выдали одинаковые наборы из пяти карточек: 1, 4, 5, 6, 13. Каждый случайно выбирает одну из своих карточек и выкладывает на стол. Найдите вероятность того, что…

Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Это означает, что произведение двух или более чисел может быть простым только в том случае, если одно из чисел равно 1, а остальные числа — 1 или 0 (что здесь невозможно, так как все числа положительные).

Давайте рассмотрим числа на карточках: 1, 4, 5, 6, 13.

1. Если хотя бы один из игроков выкладывает 1, произведение станет простым, так как оно будет равно произведению других карточек, которые выбрали игроки, увеличивая количество делителей на 1. Поэтому необходимо, чтобы только один из игроков выложил 1, а остальные — такие числа, которые дают произведение, равное простому числу.

Для произведения двух чисел быть простым, одно из них должно быть 1, а другое — простым. После анализа карточек, мы видим, что из набора ненулевых натуральных чисел, простыми являются 5 и 13.

Теперь просчитаем все возможные варианты выбора карточек:

• Всего способов, которыми могут выбрать карточки три игрока: \( 5 \times 5 \times 5 = 125 \).

Теперь учтем удачные варианты, в которых произведение равно простому числу. Это означает, что один из игроков должен выбрать 1, а другие должны выбрать 5 или 13.

Рассмотрим ситуации в зависимости от того, какой игрок выбрал 1:

1. Пусть Петя выбрал 1:

   • Вася и Толя могут выбрать 5 или 13.
   • Возможные комбинации:
     • (1, 5, 5)
     • (1, 5, 13)
     • (1, 13, 5)
     • (1, 13, 13)

   Это дает 4 удачных комбинации.

2. Аналогично для Васи и Толи, у каждого из них есть 4 аналогичных удачных случая.

Таким образом, общее количество удачных случаев: \( 4 + 4 + 4 = 12 \).

Теперь вероятность того, что произведение чисел на карточках будет простым, равна отношению удачных случаев к общему количеству случаев:

\[ P = \frac{12}{125} \]

Следовательно, вероятность того, что произведение чисел на карточках — простое число, равна \( \frac{12}{125} \).