Коля задумал трёхзначное число. Сумма цифр этого числа равна 8, а сумма квадратов цифр этого числа равна 24. Если из задуманного числа вычесть 198, то получится число, записанное…

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано, что Коля задумал трехзначное число, которое мы можем обозначить как \(abc\), где:

• \(a\) — первая цифра (сотни),
• \(b\) — вторая цифра (десятки),
• \(c\) — третья цифра (единицы).

Условия задачи:

1. Сумма цифр: \[ a + b + c = 8 \]

2. Сумма квадратов цифр: \[ a^2 + b^2 + c^2 = 24 \]

3. Если из числа \(abc\) вычесть 198, получится число \(cba\) (то есть те же цифры в обратном порядке): \[ (100a + 10b + c) - 198 = 100c + 10b + a \]

   Преобразуем это уравнение: \[ 100a + 10b + c - 198 = 100c + 10b + a \]

   Упростим его: \[ 100a + c - 198 = 100c + a \] \[ 100a - a + c - 100c = 198 \] \[ 99a - 99c = 198 \] Разделим обе стороны на 99: \[ a - c = 2 \quad (1) \]

Теперь у нас есть три уравнения:

1. \( a + b + c = 8 \) (уравнение 1)
2. \( a^2 + b^2 + c^2 = 24 \) (уравнение 2)
3. \( a - c = 2 \) (уравнение 3)

Решение уравнений:

Из уравнения (3) можно выразить \(a\): \[ a = c + 2 \]

Подставим это значение в уравнение (1): \[ (c + 2) + b + c = 8 \] \[ 2c + b + 2 = 8 \] \[ 2c + b = 6 \quad (4) \]

Теперь подставим \(a = c + 2\) в уравнение (2): \[ (c + 2)^2 + b^2 + c^2 = 24 \] Раскроем скобки: \[ (c^2 + 4c + 4) + b^2 + c^2 = 24 \] \[ 2c^2 + 4c + b^2 + 4 = 24 \] Переносим 24 влево: \[ 2c^2 + 4c + b^2 - 20 = 0 \] Упрощаем: \[ b^2 + 2c^2 + 4c - 20 = 0 \quad (5) \]

Теперь у нас два уравнения (4) и (5):

1. \(2c + b = 6\)
2. \(b^2 + 2c^2 + 4c - 20 = 0\)

Подставим \(b = 6 - 2c\) из уравнения (4) в (5): \[ (6 - 2c)^2 + 2c^2 + 4c - 20 = 0 \] Раскроем скобки: \[ 36 - 24c + 4c^2 + 2c^2 + 4c - 20 = 0 \] Соберем все термины: \[ 6c^2 - 20c + 16 = 0 \] Упростим уравнение: \[ 3c^2 - 10c + 8 = 0 \] Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4 \]

Корни уравнения: \[ c = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 2}{6} \]

Это дает два решения:

1. \(c = \frac{12}{6} = 2\)
2. \(c = \frac{8}{6} \not\in \mathbb{Z}\) (нецелое)

Теперь, подставляя \(c = 2\): \[ a = c + 2 = 2 + 2 = 4 \] И подставляем в (4): \[ 2(2) + b = 6 \Rightarrow 4 + b = 6 \Rightarrow b = 2 \]

Таким образом, мы нашли:

• \(a = 4\)
• \(b = 2\)
• \(c = 2\)

Трехзначное число: \[ abc = 422 \]

Проверяем условия:

1. Сумма цифр: \(4 + 2 + 2 = 8\) ✔️
2. Сумма квадратов: \(4^2 + 2^2 + 2^2 = 16 + 4 + 4 = 24\) ✔️
3. Вычитание 198: \(422 - 198 = 224\), а \(224\) — это \(cba\), то есть 224 — то же самое, что 422 с обратным порядком цифр.

Итак, задуманное Коля число — 422.