Коля задумал трёхзначное число. Сумма цифр этого числа равна 8, а сумма квадратов цифр этого числа равна 24. Если из задуманного числа вычесть 198, то получится число, записанное теми же цифрами, что и задуманное, но в обратном порядке. Какое число задумал Коля?

Давайте разберем задачу шаг за шагом. Дано, что Коля задумал трехзначное число, которое мы можем обозначить как \(abc\), где: - \(a\) — первая цифра (сотни), - \(b\) — вторая цифра (десятки), - \(c\) — третья цифра (единицы). **Условия задачи:** 1. Сумма цифр: \[ a + b + c = 8 \] 2. Сумма квадратов цифр: \[ a^2 + b^2 + c^2 = 24 \] 3. Если из числа \(abc\) вычесть 198, получится число \(cba\) (то есть те же цифры в обратном порядке): \[ (100a + 10b + c) - 198 = 100c + 10b + a \] Преобразуем это уравнение: \[ 100a + 10b + c - 198 = 100c + 10b + a \] Упростим его: \[ 100a + c - 198 = 100c + a \] \[ 100a - a + c - 100c = 198 \] \[ 99a - 99c = 198 \] Разделим обе стороны на 99: \[ a - c = 2 \quad (1) \] Теперь у нас есть три уравнения: 1. \( a + b + c = 8 \) (уравнение 1) 2. \( a^2 + b^2 + c^2 = 24 \) (уравнение 2) 3. \( a - c = 2 \) (уравнение 3) **Решение уравнений:** Из уравнения (3) можно выразить \(a\): \[ a = c + 2 \] Подставим это значение в уравнение (1): \[ (c + 2) + b + c = 8 \] \[ 2c + b + 2 = 8 \] \[ 2c + b = 6 \quad (4) \] Теперь подставим \(a = c + 2\) в уравнение (2): \[ (c + 2)^2 + b^2 + c^2 = 24 \] Раскроем скобки: \[ (c^2 + 4c + 4) + b^2 + c^2 = 24 \] \[ 2c^2 + 4c + b^2 + 4 = 24 \] Переносим 24 влево: \[ 2c^2 + 4c + b^2 - 20 = 0 \] Упрощаем: \[ b^2 + 2c^2 + 4c - 20 = 0 \quad (5) \] Теперь у нас два уравнения (4) и (5): 1. \(2c + b = 6\) 2. \(b^2 + 2c^2 + 4c - 20 = 0\) Подставим \(b = 6 - 2c\) из уравнения (4) в (5): \[ (6 - 2c)^2 + 2c^2 + 4c - 20 = 0 \] Раскроем скобки: \[ 36 - 24c + 4c^2 + 2c^2 + 4c - 20 = 0 \] Соберем все термины: \[ 6c^2 - 20c + 16 = 0 \] Упростим уравнение: \[ 3c^2 - 10c + 8 = 0 \] Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4 \] Корни уравнения: \[ c = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 2}{6} \] Это дает два решения: 1. \(c = \frac{12}{6} = 2\) 2. \(c = \frac{8}{6} \not\in \mathbb{Z}\) (нецелое) Теперь, подставляя \(c = 2\): \[ a = c + 2 = 2 + 2 = 4 \] И подставляем в (4): \[ 2(2) + b = 6 \Rightarrow 4 + b = 6 \Rightarrow b = 2 \] Таким образом, мы нашли: - \(a = 4\) - \(b = 2\) - \(c = 2\) Трехзначное число: \[ abc = 422 \] **Проверяем условия:** 1. Сумма цифр: \(4 + 2 + 2 = 8\) ✔️ 2. Сумма квадратов: \(4^2 + 2^2 + 2^2 = 16 + 4 + 4 = 24\) ✔️ 3. Вычитание 198: \(422 - 198 = 224\), а \(224\) — это \(cba\), то есть 224 — то же самое, что 422 с обратным порядком цифр. Итак, задуманное Коля число — **422**.