постройте график функции у=х2+20х+100
Для построения графика функции \( y = x^2 + 20x + 100 \) давайте разберем процесс пошагово. Мы будем работать с квадратичной функцией, которая имеет общую форму:
\[ y = ax^2 + bx + c \]
где \( a \), \( b \), и \( c \) — коэффициенты. В нашем случае:
- \( a = 1 \)
- \( b = 20 \)
- \( c = 100 \)
Шаг 1: Нахождение вершины параболы
Форма уравнения показывает, что это парабола, открытая вверх, так как \( a > 0 \).
Вершина параболы находится по формуле:
\[ x_{vertex} = -\frac{b}{2a} \]
Подставим наши значения:
\[ x_{vertex} = -\frac{20}{2 \cdot 1} = -10 \]
Чтобы найти координату \( y \) в вершино, подставим \( x = -10 \) в исходное уравнение:
\[ y_{vertex} = (-10)^2 + 20 \cdot (-10) + 100 \]
Вычислим:
\[ y_{vertex} = 100 - 200 + 100 = 0 \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (-10, 0) \).
Шаг 2: Нахождение пересечений с осью Y
Чтобы найти пересечение графика с осью Y, подставим \( x = 0 \):
\[ y = 0^2 + 20 \cdot 0 + 100 = 100 \]
Точка пересечения с осью Y: \( (0, 100) \).
Шаг 3: Нахождение пересечений с осью X
Для нахождения пересечений с осью X нужно решить уравнение:
\[ x^2 + 20x + 100 = 0 \]
Применим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 400 - 400 = 0 \]
Так как дискриминант равен 0, уравнение имеет одно решение, которое совпадает с вершинной точкой:
\[ x_{0} = -\frac{b}{2a} = -10 \]
Таким образом, парабола касается оси X в точке \( (-10, 0) \).
Шаг 4: Построение графика
Теперь, когда мы знаем вершину и точки пересечения, можем построить график функции:
- Отметим точку вершины \( (-10, 0) \).
- Отметим точку пересечения с осью Y \( (0, 100) \).
- Зная, что у параболы открыта вверх, проведем кривую через эти точки, которая будет симметрична относительно оси, проходящей через вершину.
Шаг 5: Дополнительные точки
Также можно подобрать дополнительные значения \( x \) для более точного построения графика. Например:
При \( x = -9 \): \[ y = (-9)^2 + 20 \cdot (-9) + 100 = 81 - 180 + 100 = 1 \] Точка: \( (-9, 1) \)
При \( x = -11 \): \[ y = (-11)^2 + 20 \cdot (-11) + 100 = 121 - 220 + 100 = 1 \] Точка: \( (-11, 1) \)
Теперь у нас есть точки \( (-11, 1) \) и \( (-9, 1) \), что подтверждает симметричность.
Заключение
График функции \( y = x^2 + 20x + 100 \) представляет собой параболу, касающуюся оси X в точке \( (-10, 0) \) и пересекающую ось Y в \( (0, 100) \). При помощи найденных точек можно построить график в системе координат.
