Постройте график функции у=х2+20х+100

Для построения графика функции \( y = x^2 + 20x + 100 \) давайте разберем процесс пошагово. Мы будем работать с квадратичной функцией, которая имеет общую форму: \[ y = ax^2 + bx + c \] где \( a \), \( b \), и \( c \) — коэффициенты. В нашем случае: - \( a = 1 \) - \( b = 20 \) - \( c = 100 \) ### Шаг 1: Нахождение вершины параболы Форма уравнения показывает, что это парабола, открытая вверх, так как \( a > 0 \). Вершина параболы находится по формуле: \[ x_{vertex} = -\frac{b}{2a} \] Подставим наши значения: \[ x_{vertex} = -\frac{20}{2 \cdot 1} = -10 \] Чтобы найти координату \( y \) в вершино, подставим \( x = -10 \) в исходное уравнение: \[ y_{vertex} = (-10)^2 + 20 \cdot (-10) + 100 \] Вычислим: \[ y_{vertex} = 100 - 200 + 100 = 0 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (-10, 0) \). ### Шаг 2: Нахождение пересечений с осью Y Чтобы найти пересечение графика с осью Y, подставим \( x = 0 \): \[ y = 0^2 + 20 \cdot 0 + 100 = 100 \] Точка пересечения с осью Y: \( (0, 100) \). ### Шаг 3: Нахождение пересечений с осью X Для нахождения пересечений с осью X нужно решить уравнение: \[ x^2 + 20x + 100 = 0 \] Применим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 400 - 400 = 0 \] Так как дискриминант равен 0, уравнение имеет одно решение, которое совпадает с вершинной точкой: \[ x_{0} = -\frac{b}{2a} = -10 \] Таким образом, парабола касается оси X в точке \( (-10, 0) \). ### Шаг 4: Построение графика Теперь, когда мы знаем вершину и точки пересечения, можем построить график функции: 1. Отметим точку вершины \( (-10, 0) \). 2. Отметим точку пересечения с осью Y \( (0, 100) \). 3. Зная, что у параболы открыта вверх, проведем кривую через эти точки, которая будет симметрична относительно оси, проходящей через вершину. ### Шаг 5: Дополнительные точки Также можно подобрать дополнительные значения \( x \) для более точного построения графика. Например: - При \( x = -9 \): \[ y = (-9)^2 + 20 \cdot (-9) + 100 = 81 - 180 + 100 = 1 \] Точка: \( (-9, 1) \) - При \( x = -11 \): \[ y = (-11)^2 + 20 \cdot (-11) + 100 = 121 - 220 + 100 = 1 \] Точка: \( (-11, 1) \) Теперь у нас есть точки \( (-11, 1) \) и \( (-9, 1) \), что подтверждает симметричность. ### Заключение График функции \( y = x^2 + 20x + 100 \) представляет собой параболу, касающуюся оси X в точке \( (-10, 0) \) и пересекающую ось Y в \( (0, 100) \). При помощи найденных точек можно построить график в системе координат.