Реши задачу, подробно запиши решение в тетради. После введения и проверки ответа ты сможешь сверить свои записи с предложенным способом решения. Реши систему неравенств: {(4x + 2)…

Чтобы решить систему неравенств, нужно по шагам решить каждое неравенство и найти решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам. Давайте разберем каждое неравенство по очереди:

Первое неравенство:

\[ (4x + 2) - 4(x + 4) > 2x \]

1. Раскроем скобки:
   • \(4(x + 4) = 4x + 16\)
   • Подставим это в неравенство: \[ 4x + 2 - 4x - 16 > 2x \]
2. Упростим: \[ 2 - 16 > 2x \] \[ -14 > 2x \]
3. Разделим обе стороны на 2 (неравенство сохранит направление, так как делим на положительное число): \[ -7 > x \] Это можно записать как: \[ x < -7 \]

Второе неравенство:

\[ (x - 4)(x + 12) < 0 \]

1. Находим корни:

   • \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)
   • \(x + 12 = 0 \Rightarrow x = -12\)

2. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала:

   • \( (-\infty, -12) \)
   • \( (-12, 4) \)
   • \( (4, \infty) \)

3. Теперь определим знак произведения \( (x - 4)(x + 12) \) на каждом интервале.

   • Для интервала \( (-\infty, -12) \) возьмем, например, \(x = -13\): \[ (-13 - 4)(-13 + 12) = (-17)(-1) > 0 \]
   • Для интервала \( (-12, 4) \) возьмем, например, \(x = 0\): \[ (0 - 4)(0 + 12) = (-4)(12) < 0 \]
   • Для интервала \( (4, \infty) \) возьмем, например, \(x = 5\): \[ (5 - 4)(5 + 12) = (1)(17) > 0 \]

Таким образом, \( (x - 4)(x + 12) < 0 \) выполняется на интервале: \[ (-12, 4) \]

Объединение решений:

Теперь объединим два условия:

1. \( x < -7 \)
2. \( -12 < x < 4 \)

Пересечем интервалы \( (-\infty, -7) \) и \( (-12, 4) \). Получаем: \[ (-12, -7) \]

Ответ:

Интервал, удовлетворяющий обоим неравенствам, записывается как: \[ (-12; -7) \]