задуманы два натуральных числа. найдите эти числа, если их произведение равно 48, а их сумма равна 16
Для решения задачи давайте обозначим два натуральных числа как \( x \) и \( y \). Нам известны их произведение и сумма:
- Произведение: \( xy = 48 \)
- Сумма: \( x + y = 16 \)
Теперь у нас есть система уравнений. Мы можем выразить одно из чисел через другое и подставить его в первое уравнение.
Шаг 1: Выразим \( y \) через \( x \)
Из уравнения суммы можно выразить \( y \):
\[ y = 16 - x \]
Шаг 2: Подставим \( y \) в уравнение произведения
Теперь подставим это выражение в уравнение произведения:
\[ x(16 - x) = 48 \]
Шаг 3: Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду
Раскроем скобки:
\[ 16x - x^2 = 48 \]
Теперь перенеся все в одну сторону, получим квадратное уравнение:
\[ -x^2 + 16x - 48 = 0 \]
Умножим всё уравнение на -1 для удобства:
\[ x^2 - 16x + 48 = 0 \]
Шаг 4: Найдём корни квадратного уравнения
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \( a = 1 \), \( b = -16 \), \( c = 48 \). Подставим значения:
\[ x = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1} \]
Сначала посчитаем дискриминант:
\[ (-16)^2 = 256 \] \[ 4 \cdot 1 \cdot 48 = 192 \] \[ b^2 - 4ac = 256 - 192 = 64 \]
Теперь подставим его в формулу:
\[ x = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{16 \pm 8}{2} \]
Это даёт два значения для \( x \):
- \( x_1 = \frac{16 + 8}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)
- \( x_2 = \frac{16 - 8}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
Шаг 5: Найдём соответствующие значения \( y \)
Теперь подставим найденные значения \( x \) обратно в уравнение \( y = 16 - x \):
Для \( x = 12 \):
\[ y = 16 - 12 = 4 \]
Для \( x = 4 \):
\[ y = 16 - 4 = 12 \]
Результат
Таким образом, два натуральных числа, которые мы искали, это 12 и 4. Оба случая приводят к тому, что произведение равно 48, а сумма равна 16.
Проверка:
- \( 12 \times 4 = 48 \) (правильно)
- \( 12 + 4 = 16 \) (правильно)
Ответ: натуральные числа — 12 и 4.
