Задуманы два натуральных числа. найдите эти числа, если их произведение равно 48, а их сумма равна 16

Для решения задачи давайте обозначим два натуральных числа как \( x \) и \( y \). Нам известны их произведение и сумма: 1. Произведение: \( xy = 48 \) 2. Сумма: \( x + y = 16 \) Теперь у нас есть система уравнений. Мы можем выразить одно из чисел через другое и подставить его в первое уравнение. ### Шаг 1: Выразим \( y \) через \( x \) Из уравнения суммы можно выразить \( y \): \[ y = 16 - x \] ### Шаг 2: Подставим \( y \) в уравнение произведения Теперь подставим это выражение в уравнение произведения: \[ x(16 - x) = 48 \] ### Шаг 3: Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду Раскроем скобки: \[ 16x - x^2 = 48 \] Теперь перенеся все в одну сторону, получим квадратное уравнение: \[ -x^2 + 16x - 48 = 0 \] Умножим всё уравнение на -1 для удобства: \[ x^2 - 16x + 48 = 0 \] ### Шаг 4: Найдём корни квадратного уравнения Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a = 1 \), \( b = -16 \), \( c = 48 \). Подставим значения: \[ x = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1} \] Сначала посчитаем дискриминант: \[ (-16)^2 = 256 \] \[ 4 \cdot 1 \cdot 48 = 192 \] \[ b^2 - 4ac = 256 - 192 = 64 \] Теперь подставим его в формулу: \[ x = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{16 \pm 8}{2} \] Это даёт два значения для \( x \): 1. \( x_1 = \frac{16 + 8}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) 2. \( x_2 = \frac{16 - 8}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) ### Шаг 5: Найдём соответствующие значения \( y \) Теперь подставим найденные значения \( x \) обратно в уравнение \( y = 16 - x \): Для \( x = 12 \): \[ y = 16 - 12 = 4 \] Для \( x = 4 \): \[ y = 16 - 4 = 12 \] ### Результат Таким образом, два натуральных числа, которые мы искали, это 12 и 4. Оба случая приводят к тому, что произведение равно 48, а сумма равна 16. ### Проверка: - \( 12 \times 4 = 48 \) (правильно) - \( 12 + 4 = 16 \) (правильно) Ответ: натуральные числа — 12 и 4.