Давайте разберем каждую из задач по порядку.
Задача 4:
Условие: Начинающий видеоблогер Катя посчитала, что каждый её видеоролик набирает в три раза больше просмотров, чем предыдущий. Определите, сколько просмотров набрали шесть первых видеороликов Кати, если первый набрал 20 просмотров.
Решение:
- Первый ролик: 20 просмотров (указываем значение первого члена).
- Второй ролик: 20 * 3 = 60 просмотров.
- Третий ролик: 60 * 3 = 180 просмотров.
- Четвертый ролик: 180 * 3 = 540 просмотров.
- Пятый ролик: 540 * 3 = 1620 просмотров.
- Шестой ролик: 1620 * 3 = 4860 просмотров.
Теперь суммируем просмотры всех шестой роликов:
[
20 + 60 + 180 + 540 + 1620 + 4860 = 6380 \text{ просмотров}
]
Ответ:
Просмотров: 6380
Задача б:
Условие: Первый и шестой члены геометрической прогрессии соответственно равны 2 и -486. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.
Решение:
- Первый член ( a_1 = 2 ).
- Шестой член ( a_6 = ar^5 = -486 ) (где ( r ) — знаменатель прогрессии).
Мы знаем, что:
[
ar^5 = -486
]
Подставляем значение ( a_1 ):
[
2r^5 = -486 \implies r^5 = -243 \implies r = -3
]
Теперь найдём сумму первых семи членов геометрической прогрессии:
Формула суммы первых ( n ) членов прогрессии:
[
S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}
]
Подставляем значения:
[
S_7 = 2 \frac{1 - (-3)^7}{1 - (-3)} = 2 \frac{1 + 2187}{4} = 2 \cdot \frac{2188}{4} = 2 \cdot 547 = 1094
]
Ответ:
Сумма первых семи членов: 1094
Задача 7:
Условие: Найдите первый член геометрической прогрессии, если известно, что ( q = 2 ), ( S_4 = 165 ).
Решение:
При ( n = 4 ):
[
S_4 = a_1 \frac{1 - q^4}{1 - q}
]
Подставляем известные значения:
[
165 = a_1 \frac{1 - 2^4}{1 - 2}
]
[
165 = a_1 \frac{1 - 16}{-1} \implies 165 = a_1 \frac{-15}{-1} \implies 165 = 15a_1
]
Отсюда находим ( a_1 ):
[
a_1 = \frac{165}{15} = 11
]
Ответ:
Первый член: 11
Задача 8:
Условие: Четвёртый член геометрической прогрессии в 4 раза больше её первого члена. Найдите, во сколько раз тринадцатый член этой прогрессии больше её четвёртого члена.
Решение:
- Обозначим первый член как ( a_1 ).
- Четвёртый член: ( a_4 = a_1 r^3 ).
- По условию: ( a_4 = 4a_1 ).
Отсюда:
[
a_1 r^3 = 4a_1
]
Если ( a_1 \neq 0 ), сокращаем:
[
r^3 = 4 \implies r = \sqrt[3]{4}
]
Теперь найдем 13-й член ( a_{13} ):
[
a_{13} = a_1 r^{12}
]
Сравним ( a_{13} ) и ( a_4 ):
[
a_{13} = a_1 r^{12} = a_1 (r^3)^4 = a_1 \cdot 4^4 = 256a_1
]
Теперь найдем, во сколько раз ( a_{13} ) больше ( a_{4} ):
[
\frac{a_{13}}{a_4} = \frac{256a_1}{4a_1} = \frac{256}{4} = 64
]
Ответ:
В 64 раза.
