Саша решил определить массу одной металлической кнопки. У него была коробка кнопок, рычажные весы и набор гирь по 10 г. Петя провёл несколько измерений. Он выяснил, что масса 5…

Для решения задачи сначала разберём информацию, которую мы имеем из экспериментов, потом определим, в каком из них масса кнопки определена с наименьшей погрешностью, найдем границы массы одной кнопки и, наконец, дадим наилучшую оценку.

1. Определение наименьшей погрешности

Посмотрим на результаты измерений:

• Первый эксперимент:

  • Масса 5 кнопок < 10 г
  • Масса 6 кнопок > 10 г

  Это означает, что 5 кнопок весят меньше 10 г, так что: \[ m \cdot 5 < 10 \implies m < 2 \text{ г} \] И 6 кнопок весят больше 10 г, так что: \[ m \cdot 6 > 10 \implies m > \frac{10}{6} \approx 1.67 \text{ г} \] Таким образом, для первого измерения: \[ 1.67 < m < 2 \]

• Второй эксперимент:

  • Масса 10 кнопок < 20 г
  • Масса 11 кнопок > 20 г

  Это означает: \[ m \cdot 10 < 20 \implies m < 2 \text{ г} \] И для 11 кнопок: \[ m \cdot 11 > 20 \implies m > \frac{20}{11} \approx 1.82 \text{ г} \] Таким образом, для второго измерения: \[ 1.82 < m < 2 \]

• Третий эксперимент:

  • Масса 16 кнопок < 30 г
  • Масса 17 кнопок > 30 г

  Это означает: \[ m \cdot 16 < 30 \implies m < \frac{30}{16} = 1.875 \text{ г} \] И для 17 кнопок: \[ m \cdot 17 > 30 \implies m > \frac{30}{17} \approx 1.76 \text{ г} \] Таким образом, для третьего измерения: \[ 1.76 < m < 1.875 \]

Теперь сравним погрешности:

• 1-й эксперимент: диапазон \( [1.67, 2] \), длина = 0.33
• 2-й эксперимент: диапазон \( [1.82, 2] \), длина = 0.18
• 3-й эксперимент: диапазон \( [1.76, 1.875] \), длина = 0.115

Наименьшая погрешность была в третьем эксперименте.

2. Границы массы одной кнопки по всем трём измерениям

Объединяем все три диапазона:

• 1-й эксперимент: \( 1.67 < m < 2 \)
• 2-й эксперимент: \( 1.82 < m < 2 \)
• 3-й эксперимент: \( 1.76 < m < 1.875 \)

В совокупности, границы:

• Для нижней границы берём наибольшую из нижних (1.82)
• Для верхней границы берём наименьшую из верхних (1.875)

Таким образом: \[ 1.82 < m < 1.875 \]

3. Наилучшая оценка для массы одной кнопки

Наилучшая оценка может быть взята как среднее арифметическое всех границ: \[ m \approx \frac{1.82 + 1.875}{2} = 1.8475 \text{ г} \] Округляем до тысячной доли: \[ m \approx 1.848 \text{ г} \]

Ответ

1. С наименьшей погрешностью было проведено третье измерение;
2. Границы массы по всем трём измерениям: \( 1.82 < m < 1.875 \);
3. Масса одной кнопки: \( 1.848 \) г.