исследуйте функцию на монотонность и экстрему: y=x/3^3 +x^3-3x

Давайте рассмотрим функцию \( y = \frac{x}{3^3} + x^3 - 3x \) и проанализируем её на монотонность и экстремумы.

Шаг 1: Упростим функцию

Прежде всего, упростим выражение. Поскольку \( 3^3 = 27 \), можем записать функцию как:

\[ y = \frac{x}{27} + x^3 - 3x \]

Шаг 2: Найдем производную функции

Для исследования монотонности функции нужно найти её производную:

\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{27} + x^3 - 3x\right) \]

Выражая производную, получим:

\[ y' = \frac{1}{27} + 3x^2 - 3 \]

Шаг 3: Упрощаем производную

Упорядочим получившуюся производную:

\[ y' = 3x^2 - 3 + \frac{1}{27} \]

Шаг 4: Находим критические точки

Чтобы найти, где функция может меняться по знаку (т.е. где она может иметь экстремумы), нам нужно решить уравнение \( y' = 0 \):

\[ 3x^2 - 3 + \frac{1}{27} = 0 \] Умножим всё уравнение на 27, чтобы избавиться от дроби:

\[ 81x^2 - 81 + 1 = 0 \] \[ 81x^2 - 80 = 0 \] \[ 81x^2 = 80 \] \[ x^2 = \frac{80}{81} \] \[ x = \pm \frac{\sqrt{80}}{9} = \pm \frac{4\sqrt{5}}{9} \]

Шаг 5: Исследуем знаки производной

Теперь найдем интервалы, в которых функция возрастает и убывает. Для этого исследуем знак производной \( y' \):

1. Возьмём \( x < -\frac{4\sqrt{5}}{9} \)
2. Возьмём \( -\frac{4\sqrt{5}}{9} < x < \frac{4\sqrt{5}}{9} \)
3. Возьмём \( x > \frac{4\sqrt{5}}{9} \)

Подставим числа из каждого интервала (например, \( x = -1 \), \( x = 0 \), \( x = 1 \)) в производную:

• Для \( x < -\frac{4\sqrt{5}}{9} \): пусть \( x = -1 \)

\[ y'(-1) = 3(-1)^2 - 3 + \frac{1}{27} = 3 - 3 + \frac{1}{27} = \frac{1}{27} > 0 \quad (\text{функция возрастает}) \]

• Для \( -\frac{4\sqrt{5}}{9} < x < \frac{4\sqrt{5}}{9} \): пусть \( x = 0 \)

\[ y'(0) = 3(0)^2 - 3 + \frac{1}{27} = -3 + \frac{1}{27} < 0 \quad (\text{функция убывает}) \]

• Для \( x > \frac{4\sqrt{5}}{9} \): пусть \( x = 1 \)

\[ y'(1) = 3(1)^2 - 3 + \frac{1}{27} = 3 - 3 + \frac{1}{27} = \frac{1}{27} > 0 \quad (\text{функция возрастает}) \]

Шаг 6: Анализ экстремумов

На основе знаков производной функция имеет:

• Местный максимум в точке \( x = -\frac{4\sqrt{5}}{9} \)
• Местный минимум в точке \( x = \frac{4\sqrt{5}}{9} \)

Заключение

Функция \( y = \frac{x}{27} + x^3 - 3x \) возрастает на интервалах \( (-\infty, -\frac{4\sqrt{5}}{9}) \) и \( (\frac{4\sqrt{5}}{9}, +\infty) \) и убывает на интервале \( (-\frac{4\sqrt{5}}{9}, \frac{4\sqrt{5}}{9}) \). Она имеет один максимум и один минимум в указанных точках.