Исследуйте функцию на монотонность и экстрему: y=x/3^3 +x^3-3x

Давайте рассмотрим функцию \( y = \frac{x}{3^3} + x^3 - 3x \) и проанализируем её на монотонность и экстремумы. ### Шаг 1: Упростим функцию Прежде всего, упростим выражение. Поскольку \( 3^3 = 27 \), можем записать функцию как: \[ y = \frac{x}{27} + x^3 - 3x \] ### Шаг 2: Найдем производную функции Для исследования монотонности функции нужно найти её производную: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{27} + x^3 - 3x\right) \] Выражая производную, получим: \[ y' = \frac{1}{27} + 3x^2 - 3 \] ### Шаг 3: Упрощаем производную Упорядочим получившуюся производную: \[ y' = 3x^2 - 3 + \frac{1}{27} \] ### Шаг 4: Находим критические точки Чтобы найти, где функция может меняться по знаку (т.е. где она может иметь экстремумы), нам нужно решить уравнение \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 3 + \frac{1}{27} = 0 \] Умножим всё уравнение на 27, чтобы избавиться от дроби: \[ 81x^2 - 81 + 1 = 0 \] \[ 81x^2 - 80 = 0 \] \[ 81x^2 = 80 \] \[ x^2 = \frac{80}{81} \] \[ x = \pm \frac{\sqrt{80}}{9} = \pm \frac{4\sqrt{5}}{9} \] ### Шаг 5: Исследуем знаки производной Теперь найдем интервалы, в которых функция возрастает и убывает. Для этого исследуем знак производной \( y' \): 1. Возьмём \( x < -\frac{4\sqrt{5}}{9} \) 2. Возьмём \( -\frac{4\sqrt{5}}{9} < x < \frac{4\sqrt{5}}{9} \) 3. Возьмём \( x > \frac{4\sqrt{5}}{9} \) Подставим числа из каждого интервала (например, \( x = -1 \), \( x = 0 \), \( x = 1 \)) в производную: - Для \( x < -\frac{4\sqrt{5}}{9} \): пусть \( x = -1 \) \[ y'(-1) = 3(-1)^2 - 3 + \frac{1}{27} = 3 - 3 + \frac{1}{27} = \frac{1}{27} > 0 \quad (\text{функция возрастает}) \] - Для \( -\frac{4\sqrt{5}}{9} < x < \frac{4\sqrt{5}}{9} \): пусть \( x = 0 \) \[ y'(0) = 3(0)^2 - 3 + \frac{1}{27} = -3 + \frac{1}{27} < 0 \quad (\text{функция убывает}) \] - Для \( x > \frac{4\sqrt{5}}{9} \): пусть \( x = 1 \) \[ y'(1) = 3(1)^2 - 3 + \frac{1}{27} = 3 - 3 + \frac{1}{27} = \frac{1}{27} > 0 \quad (\text{функция возрастает}) \] ### Шаг 6: Анализ экстремумов На основе знаков производной функция имеет: - Местный максимум в точке \( x = -\frac{4\sqrt{5}}{9} \) - Местный минимум в точке \( x = \frac{4\sqrt{5}}{9} \) ### Заключение Функция \( y = \frac{x}{27} + x^3 - 3x \) возрастает на интервалах \( (-\infty, -\frac{4\sqrt{5}}{9}) \) и \( (\frac{4\sqrt{5}}{9}, +\infty) \) и убывает на интервале \( (-\frac{4\sqrt{5}}{9}, \frac{4\sqrt{5}}{9}) \). Она имеет один максимум и один минимум в указанных точках.