Сколько элементарных событий с 3 успехами возможно в серии из 9 испытаний Бернулли

Для решения задачи о количестве элементарных событий с 3 успехами в серии из 9 испытаний Бернулли следует использовать формулу для вычисления количеств сочетаний.

1. Понимание задачи:
Мы имеем 9 испытаний, и нас интересует количество случаев, когда происходит ровно 3 успеха. В каждом испытании может произойти успех или неудача.

2. Формула сочетаний:
Для нахождения количества элементарных событий с \( k \) успехами из \( n \) испытаний используется формула сочетаний: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( n \) — общее количество испытаний,
• \( k \) — количество успехов,
• \( n! \) (факториал n) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \).

3. Подставляем значения:
В нашем случае \( n = 9 \) и \( k = 3 \). Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} \]

4. Вычисляем факториалы:
Сначала вычислим \( 9! \), но заметим, что \( 6! \) в знаменателе позволит упростить выражение. То есть:

\[ 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6! \]

Таким образом, мы можем упростить:

\[ C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3!} \]

Теперь посчитаем \( 3! \):

\[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

5. Подстановка и вычисления:

Теперь подставим значение \( 3! \) в сочетания:

\[ C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{6} \]

Посчитаем числитель:

\[ 9 \times 8 = 72\\ 72 \times 7 = 504 \]

Теперь делим на 6:

\[ C(9, 3) = \frac{504}{6} = 84 \]

6. Результат:
Таким образом, количество элементарных событий с 3 успехами в 9 испытаниях Бернулли составляет 84.