Для решения задачи о количестве элементарных событий с 3 успехами в серии из 9 испытаний Бернулли следует использовать формулу для вычисления количеств сочетаний.
1. Понимание задачи:
Мы имеем 9 испытаний, и нас интересует количество случаев, когда происходит ровно 3 успеха. В каждом испытании может произойти успех или неудача.
2. Формула сочетаний:
Для нахождения количества элементарных событий с ( k ) успехами из ( n ) испытаний используется формула сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- ( n ) — общее количество испытаний,
- ( k ) — количество успехов,
- ( n! ) (факториал n) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до ( n ).
3. Подставляем значения:
В нашем случае ( n = 9 ) и ( k = 3 ). Теперь подставим эти значения в формулу:
[
C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!}
]
4. Вычисляем факториалы:
Сначала вычислим ( 9! ), но заметим, что ( 6! ) в знаменателе позволит упростить выражение. То есть:
[
9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6!
]
Таким образом, мы можем упростить:
[
C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3!}
]
Теперь посчитаем ( 3! ):
[
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
]
5. Подстановка и вычисления:
Теперь подставим значение ( 3! ) в сочетания:
[
C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{6}
]
Посчитаем числитель:
[
9 \times 8 = 72\
72 \times 7 = 504
]
Теперь делим на 6:
[
C(9, 3) = \frac{504}{6} = 84
]
6. Результат:
Таким образом, количество элементарных событий с 3 успехами в 9 испытаниях Бернулли составляет 84.
