Для решения данной задачи о рассадке мальчиков и девочек за кругом, будем следовать следующим шагам:
Шаг 1: Определение количества способов рассадки
Когда мы располагаем людей за кругом, то один из них можно зафиксировать, чтобы избежать учета одинаковых перестановок (поворотов). Поэтому за кругом размещение 6 человек можно посчитать как (n-1)!.
В нашем случае:
- Всего мест = 6
- Человек = 6 (4 мальчика + 2 девочки)
Количество возможных рассадок:
[
(6 - 1)! = 5! = 120.
]
Шаг 2: Рассмотрим благоприятные случаи (девочки сидят напротив)
Чтобы девочки сидели напротив друг друга, зафиксируем одну из девочек. При этом другая девочка будет находиться непосредственно напротив неё.
Схема расположения:
- Зафиксируем одну девочку на одном стуле. Она занимает, например, стул 1.
- Другая девочка займёт стул 4 (напротив).
Таким образом, мы имеем стулья 1 и 4 занятыми девочками. Остаётся 4 стула (2, 3, 5 и 6) для 4 мальчиков, которые могут сидеть в любом порядке.
Количество способов рассадки 4 мальчиков на 4 стульях:
[
4! = 24.
]
Шаг 3: Подсчет благоприятных случаев
Поскольку мы можем разместить девочек на двух разных парах стульев на круге, в каждой конкретной конфигурации (например, девочка 1 на стуле 1 и девочка 2 на стуле 4), для девочек также есть 2! перестановок.
Таким образом, общее количество благоприятных случаев:
[
2! \times 4! = 2 \times 24 = 48.
]
Шаг 4: Подсчет вероятности
Теперь мы можем посчитать вероятность того, что девочки сидят напротив друг друга, как отношение благоприятных случаев к общему количеству рассадок:
[
P = \frac{\text{Количество благоприятных случаев}}{\text{Общее количество случаев}} = \frac{48}{120} = \frac{2}{5} = 0,4.
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что девочки будут сидеть напротив друг друга, равна ( 0,4 ).
