{x+2y=5 {-2x+7y=-2 решить способом подстановки
Чтобы решить систему уравнений методом подстановки, первыми шагами нам нужно выразить одну переменную через другую в одном уравнении, а затем подставить это выражение во второе уравнение. Рассмотрим заданную систему уравнений:
- \( x + 2y = 5 \) (Уравнение 1)
- \( -2x + 7y = -2 \) (Уравнение 2)
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую
Начнем с первого уравнения (Уравнение 1):
\( x + 2y = 5 \)
Выразим \( x \) через \( y \):
\( x = 5 - 2y \) (Уравнение 3)
Шаг 2: Подставим выражение во второе уравнение
Теперь подставим выражение для \( x \) из Уравнения 3 во второе уравнение (Уравнение 2):
\( -2(5 - 2y) + 7y = -2 \)
Шаг 3: Решим полученное уравнение
Теперь раскроем скобки:
\[ -10 + 4y + 7y = -2 \]
Сложим подобные члены:
\[ -10 + 11y = -2 \]
Прибавим 10 к обеим сторонам:
\[ 11y = 8 \]
Теперь разделим на 11:
\[ y = \frac{8}{11} \]
Шаг 4: Найдем значение \( x \)
Теперь, когда мы нашли \( y \), подставим его обратно в Уравнение 3, чтобы найти \( x \):
\[ x = 5 - 2\left(\frac{8}{11}\right) \]
Сначала посчитаем \( 2 \times \frac{8}{11} \):
\[ 2 \times \frac{8}{11} = \frac{16}{11} \]
Теперь подставим это значение в выражение для \( x \):
\[ x = 5 - \frac{16}{11} \]
Приведем 5 к общему знаменателю \( 11 \):
\[ 5 = \frac{55}{11} \]
Теперь выразим \( x \) с учетом общего знаменателя:
\[ x = \frac{55}{11} - \frac{16}{11} = \frac{55 - 16}{11} = \frac{39}{11} \]
Шаг 5: Ответ
Таким образом, мы нашли значения \( x \) и \( y \):
\[ x = \frac{39}{11}, \quad y = \frac{8}{11} \]
Теперь мы можем записать окончательный ответ:
\[ \begin{cases} x = \frac{39}{11} \\ y = \frac{8}{11} \end{cases} \]
Эта система уравнений имеет единственное решение, и мы его нашли, используя метод подстановки.
