Давайте решим заданные квадратные уравнения и применим различные методы, такие как дискриминант, обратная теорема Виета и свойства коэффициентов. Пройдем по каждому уравнению поочередно.
1. Уравнение: ( x^2 + 5x = 0 )
Способ 1: Факторизация
Мы можем вынести общий множитель:
[
x(x + 5) = 0
]
Отсюда получаем два решения:
[
x = 0 \quad \text{или} \quad x + 5 = 0 \implies x = -5
]
Способ 2: Дискриминант
Приведем уравнение к стандартному виду:
[
x^2 + 5x + 0 = 0
]
Коэффициенты: (a = 1), (b = 5), (c = 0). Находим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 25
]
Корни:
[
x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 5}{2 \cdot 1} \implies \left{ 0, -5 \right}
]
2. Уравнение: ( 2x^2 + x + 67 = 0 )
Способ 1: Дискриминант
Коэффициенты: (a = 2), (b = 1), (c = 67). Находим дискриминант:
[
D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 67 = 1 - 536 = -535
]
Поскольку (D < 0), уравнение не имеет действительных корней (имеет комплексные).
Способ 2: По свойствам коэффициентов (для проверки)
Сумма корней: (-\frac{b}{a} = -\frac{1}{2})
Произведение корней: (\frac{c}{a} = \frac{67}{2})
3. Уравнение: ( x^2 - 4 = 0 )
Способ 1: Факторизация
[
(x - 2)(x + 2) = 0
]
Корни:
[
x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2
]
4. Уравнение: ( 4x + x^2 = 0 )
Способ 1: Факторизация
[
x(4 + x) = 0
]
Корни:
[
x = 0 \quad \text{или} \quad x + 4 = 0 \implies x = -4
]
5. Уравнение: ( 2x^2 + 3x - 5 = 0 )
Способ 1: Дискриминант
Коэффициенты: (a = 2), (b = 3), (c = -5). Находим дискриминант:
[
D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49
]
Корни:
[
x_1, x_2 = \frac{-3 \pm 7}{4} = {1, -2.5}
]
6. Уравнение: ( 3x^2 - 27 = 0 )
Способ 1: Факторизация
[
3(x^2 - 9) = 0 \implies x^2 - 9 = 0
]
Корни: (x = 3) или (x = -3).
7. Уравнение: ( 2x^2 - 3 = 0 )
Способ 1: Изолируем переменную
[
2x^2 = 3 \implies x^2 = \frac{3}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}
]
8. Уравнение: ( 5x^2 - 3x - 2 = 0 )
Способ 1: Дискриминант
Коэффициенты: (a = 5), (b = -3), (c = -2). Находим дискриминант:
[
D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49
]
Корни:
[
x_1, x_2 = \frac{3 \pm 7}{10} = {1, -\frac{2}{5}}
]
9. Уравнение: ( x^2 + 3x + 2 = 0 )
Способ 1: Факторизация
[
(x + 1)(x + 2) = 0
]
Корни: (x = -1) или (x = -2).
10. Уравнение: ( b^2 - 3 = 0 )
Способ 1: Изолируем переменную
[
b^2 = 3 \implies b = \pm \sqrt{3}
]
11. Уравнение: ( x^2 + 3x - 6 = 0 )
Способ 1: Дискриминант
Коэффициенты: (a = 1), (b = 3), (c = -6). Находим дискриминант:
[
D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33
]
Корни:
[
x_1, x_2 = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2}
]
12. Уравнение: ( x^2 + 6x + 5 = 0 )
Способ 1: Факторизация
[
(x + 1)(x + 5) = 0 \implies x = -1, -5
]
13. Уравнение: ( x^2 + 4x + 4 = 0 )
Способ 1: Факторизация
[
(x + 2)^2 = 0 \implies x = -2 \quad \text{(двойной корень)}
]
14. Уравнение: ( x^2 + 6x + 8 = 0 )
Способ 1: Факторизация
[
(x + 2)(x + 4) = 0 \implies x = -2 \quad \text{или} \quad x = -4
]
15. Уравнение: ( 9 - 6x + x^2 = 0 )
Способ 1: Переписываем уравнение
[
x^2 - 6x + 9 = 0 \implies (x - 3)^2 = 0 \implies x = 3 \quad \text{(двойной корень)}
]
16. Уравнение: ( 3x^2 + 5x - 2 = 0 )
Способ 1: Дискриминант
Коэффициенты: (a = 3), (b = 5), (c = -2). Находим дискриминант:
[
D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49
]
Корни:
[
x_1, x_2 = \frac{-5 \pm 7}{6} = { \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} }
]
17. Уравнение: ( 12b^2 + 2b - 2 = 0 )
Способ 1: Дискриминант
Коэффициенты: (a = 12), (b = 2), (c = -2). Находим дискриминант:
[
D = 2^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-2) = 4 + 96 = 100
]
Корни:
[
b_1, b_2 = \frac{-2 \pm 10}{24} \implies b_1 = \frac{1}{3}, b_2 = -\frac{1}{6}
]
18. Уравнение: ( 3x^2 + 8x - 3 = 0 )
Способ 1: Дискриминант
Коэффициенты: (a = 3), (b = 8), (c = -3). Находим дискриминант:
[
D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100
]
Корни:
[
x_1, x_2 = \frac{-8 \pm 10}{6} = { \frac{1}{3}, -3 }
]
Заключение
Мы успешно решили все заданные уравнения различными способами. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется дополнительная помощь, пожалуйста, дайте знать!
