Решите полные и неполные квадратные уравнения всеми способами (с помощью дискриминанта, обратной теоремы Виета, по свойствам коэффициентов). Необходимо использовать все способы.…

Давайте решим заданные квадратные уравнения и применим различные методы, такие как дискриминант, обратная теорема Виета и свойства коэффициентов. Пройдем по каждому уравнению поочередно.

1. Уравнение: \( x^2 + 5x = 0 \)

Способ 1: Факторизация Мы можем вынести общий множитель: \[ x(x + 5) = 0 \] Отсюда получаем два решения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x + 5 = 0 \implies x = -5 \]

Способ 2: Дискриминант Приведем уравнение к стандартному виду: \[ x^2 + 5x + 0 = 0 \] Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = 0\). Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 25 \] Корни: \[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 5}{2 \cdot 1} \implies \left\{ 0, -5 \right\} \]

2. Уравнение: \( 2x^2 + x + 67 = 0 \)

Способ 1: Дискриминант Коэффициенты: \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = 67\). Находим дискриминант: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 67 = 1 - 536 = -535 \] Поскольку \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней (имеет комплексные).

Способ 2: По свойствам коэффициентов (для проверки) Сумма корней: \(-\frac{b}{a} = -\frac{1}{2}\)
Произведение корней: \(\frac{c}{a} = \frac{67}{2}\)

3. Уравнение: \( x^2 - 4 = 0 \)

Способ 1: Факторизация \[ (x - 2)(x + 2) = 0 \] Корни: \[ x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 \]

4. Уравнение: \( 4x + x^2 = 0 \)

Способ 1: Факторизация \[ x(4 + x) = 0 \] Корни: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x + 4 = 0 \implies x = -4 \]

5. Уравнение: \( 2x^2 + 3x - 5 = 0 \)

Способ 1: Дискриминант Коэффициенты: \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = -5\). Находим дискриминант: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 \] Корни: \[ x_1, x_2 = \frac{-3 \pm 7}{4} = \{1, -2.5\} \]

6. Уравнение: \( 3x^2 - 27 = 0 \)

Способ 1: Факторизация \[ 3(x^2 - 9) = 0 \implies x^2 - 9 = 0 \] Корни: \(x = 3\) или \(x = -3\).

7. Уравнение: \( 2x^2 - 3 = 0 \)

Способ 1: Изолируем переменную \[ 2x^2 = 3 \implies x^2 = \frac{3}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \]

8. Уравнение: \( 5x^2 - 3x - 2 = 0 \)

Способ 1: Дискриминант Коэффициенты: \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = -2\). Находим дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 \] Корни: \[ x_1, x_2 = \frac{3 \pm 7}{10} = \{1, -\frac{2}{5}\} \]

9. Уравнение: \( x^2 + 3x + 2 = 0 \)

Способ 1: Факторизация \[ (x + 1)(x + 2) = 0 \] Корни: \(x = -1\) или \(x = -2\).

10. Уравнение: \( b^2 - 3 = 0 \)

Способ 1: Изолируем переменную \[ b^2 = 3 \implies b = \pm \sqrt{3} \]

11. Уравнение: \( x^2 + 3x - 6 = 0 \)

Способ 1: Дискриминант Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -6\). Находим дискриминант: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33 \] Корни: \[ x_1, x_2 = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2} \]

12. Уравнение: \( x^2 + 6x + 5 = 0 \)

Способ 1: Факторизация \[ (x + 1)(x + 5) = 0 \implies x = -1, -5 \]

13. Уравнение: \( x^2 + 4x + 4 = 0 \)

Способ 1: Факторизация \[ (x + 2)^2 = 0 \implies x = -2 \quad \text{(двойной корень)} \]

14. Уравнение: \( x^2 + 6x + 8 = 0 \)

Способ 1: Факторизация \[ (x + 2)(x + 4) = 0 \implies x = -2 \quad \text{или} \quad x = -4 \]

15. Уравнение: \( 9 - 6x + x^2 = 0 \)

Способ 1: Переписываем уравнение \[ x^2 - 6x + 9 = 0 \implies (x - 3)^2 = 0 \implies x = 3 \quad \text{(двойной корень)} \]

16. Уравнение: \( 3x^2 + 5x - 2 = 0 \)

Способ 1: Дискриминант Коэффициенты: \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = -2\). Находим дискриминант: \[ D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \] Корни: \[ x_1, x_2 = \frac{-5 \pm 7}{6} = \{ \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \} \]

17. Уравнение: \( 12b^2 + 2b - 2 = 0 \)

Способ 1: Дискриминант Коэффициенты: \(a = 12\), \(b = 2\), \(c = -2\). Находим дискриминант: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-2) = 4 + 96 = 100 \] Корни: \[ b_1, b_2 = \frac{-2 \pm 10}{24} \implies b_1 = \frac{1}{3}, b_2 = -\frac{1}{6} \]

18. Уравнение: \( 3x^2 + 8x - 3 = 0 \)

Способ 1: Дискриминант Коэффициенты: \(a = 3\), \(b = 8\), \(c = -3\). Находим дискриминант: \[ D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 \] Корни: \[ x_1, x_2 = \frac{-8 \pm 10}{6} = \{ \frac{1}{3}, -3 \} \]

Заключение

Мы успешно решили все заданные уравнения различными способами. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется дополнительная помощь, пожалуйста, дайте знать!