Дан равносторонний треугольник ABC со стороной AB=2, AM — его медиана. Найдите скалярное произведение векторов AB и AM.

Для решения задачи о нахождении скалярного произведения векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AM} \) в равностороннем треугольнике \( ABC \) со стороной \( AB = 2 \) и медианой \( AM \), следуем этим шагам:

Шаг 1: Определим координаты точек треугольника

1. Зададим координаты точки \( A \) как \( A(0, 0) \).

2. Точка \( B \) будет находиться на расстоянии 2 от \( A \). Пусть \( B(2, 0) \).

3. Для нахождения координат точки \( C \) нам нужно помнить, что треугольник равнобедренный. Высота, опущенная из \( C \) на сторону \( AB \), делит треугольник пополам.

   Высота делит сторону \( AB \) пополам, поэтому точка \( D \) — это середина \( AB \): \[ D\left( \frac{0 + 2}{2}, 0 \right) = (1, 0). \] Высота \( CD \) будет вертикальной и равна \( h \), где: \[ h = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}. \] Следовательно, координаты точки \( C \): \[ C(1, \sqrt{3}). \]

Шаг 2: Найдем координаты точек \( A, B, M \)

Теперь мы можем определить координаты точек:

• \( A(0, 0) \)
• \( B(2, 0) \)

Шаг 3: Найдем координаты медианы \( M \)

Медиана \( AM \) соединяет вершину \( A \) со средней точкой \( M \) стороны \( BC \).

1. Сначала найдем середину \( M \) отрезка \( BC \): \[ M\left( \frac{2 + 1}{2}, \frac{0 + \sqrt{3}}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right). \]

Шаг 4: Найдем векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AM} \)

1. Вектор \( \vec{AB} \): \[ \vec{AB} = B - A = (2 - 0, 0 - 0) = (2, 0). \]

2. Вектор \( \vec{AM} \): \[ \vec{AM} = M - A = \left( \frac{3}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right). \]

Шаг 5: Найдем скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов \( \vec{u} = (u_1, u_2) \) и \( \vec{v} = (v_1, v_2) \) вычисляется по формуле: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2. \] Подставим координаты векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AM} \): \[ \vec{AB} \cdot \vec{AM} = 2 \cdot \frac{3}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 + 0 = 3. \]

Ответ

Таким образом, скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AM} \) равно \( 3 \).