3x+5y=14 7x-5y=16 решить систему сложением
Решим систему уравнений:
- \( 3x + 5y = 14 \)
- \( 7x - 5y = 16 \)
Для решения системы складыванием (или вычитанием) нам нужно сделать так, чтобы одно из уравнений позволяло устранить одну из переменных. В нашем случае мы заметили, что у первого уравнения есть положительное значение перед \(5y\), а у второго - отрицательное. Это значит, что мы можем просто сложить уравнения, чтобы избавиться от \(y\).
Шаг 1: Сложим два уравнения.
Сложим левую часть первого уравнения и левую часть второго уравнения, а также правую часть первого уравнения и правую часть второго:
\[ (3x + 5y) + (7x - 5y) = 14 + 16 \]
Шаг 2: Упростим уравнение.
Теперь упростим:
\[ 3x + 7x + 5y - 5y = 30 \] \[ 10x = 30 \]
Шаг 3: Найдем значение переменной \(x\).
Теперь разделим обе стороны на 10:
\[ x = \frac{30}{10} = 3 \]
Шаг 4: Подставим значение \(x\) в одно из уравнений для нахождения \(y\).
Подставим \(x = 3\) в первое уравнение:
\[ 3(3) + 5y = 14 \] \[ 9 + 5y = 14 \]
Теперь вычтем 9 из обеих сторон:
\[ 5y = 14 - 9 \] \[ 5y = 5 \]
Теперь разделим обе стороны на 5:
\[ y = \frac{5}{5} = 1 \]
Шаг 5: Запишем ответ.
Таким образом, получили:
\[ x = 3, \quad y = 1 \]
Решение системы уравнений: \[ (x, y) = (3, 1) \]
Проверка решения.
Чтобы убедиться в том, что наше решение верно, подставим значения \(x\) и \(y\) в оба уравнения:
- Для первого уравнения:
\[ 3(3) + 5(1) = 9 + 5 = 14 \quad \text{(верно)} \]
- Для второго уравнения:
\[ 7(3) - 5(1) = 21 - 5 = 16 \quad \text{(верно)} \]
Оба уравнения выполняются, значит решение \(x = 3\) и \(y = 1\) является верным.
