Комбинаторика. Самостоятельная работа Вариант 1. 13. Маше, Кате и Лене поручили выучить 3 стихотворения. Девочки решили распределить их между собой по одному. Сколько вариантов…

Давайте разберём каждую задачу, связанную с комбинаторикой.

Задача 13

Условие: Маше, Кате и Лене поручили выучить 3 стихотворения. Девочки решили распределить их между собой по одному. Сколько вариантов это сделать у них есть?

Решение:

1. У нас есть 3 стихотворения, и мы хотим распределить их между 3 девочками.
2. Для первого стихотворения мы можем выбрать любую из 3 девочек (Маша, Катя или Лена).
3. Для второго стихотворения у нас остаются 2 девочки, поскольку одна уже выбрала первое стихотворение.
4. Для третьего стихотворения остаётся 1 девочка, которая не выбрала никакого стихотворения.

Следовательно, общее количество способов распределить стихотворения будет равно: \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

Таким образом, вариантов распределения 6.

Задача 14

Условие: Бургер можно составить из белой булочки или булочки с кунжутом, говяжьей, рыбной котлеты или куриной отбивной и соуса: кетчуп, провансаль, горчичный или чесночный. Сколько вариантов бургера можно сделать?

Решение:

1. Булочки: 2 варианта (белая булочка или булочка с кунжутом).
2. Котлеты: 3 варианта (говяжья, рыбная или куриная).
3. Соусы: 4 варианта (кетчуп, провансаль, горчичный или чесночный).

Чтобы найти общее количество различных бургеров, умножим количество вариантов для каждого компонента:

\[ \text{Общее количество бургеров} = \text{Количество булочек} \times \text{Количество котлет} \times \text{Количество соусов} \] \[ = 2 \times 3 \times 4 = 24 \]

Таким образом, можно сделать 24 различных бургера.

Задача 15

Условие: Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова «книга»?

Решение:

1. В слове «книга» 6 букв, среди которых буква «и» повторяется два раза.
2. Чтобы найти количество различных последовательностей, воспользуемся формулой для количества различных перестановок:

\[ \frac{n!}{k_1! \times k_2! \times \ldots \times k_m!} \]

где \(n\) — общее количество букв, а \(k_1, k_2, \ldots, k_m\) — количество повторений каждой буквы.

В нашем случае:

• \(n = 6\) (всего букв),
• повторы: буква «и» — 2 раза.

Так что формула будет выглядеть так: \[ \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360 \]

Таким образом, из букв слова «книга» можно составить 360 различных последовательностей.

Задача 16

Условие: Найдите значение \( \frac{10!}{5!3!} \).

Решение:

1. Используем формулу для вычисления сочетаний, которая выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

В данной задаче \(n = 10\), \(k = 5 + 3 = 8\), соответственно, мы можем упростить задачу, выделив \(5!\) и \(3!\): \[ C(10, 5) = \frac{10!}{5!5!} \]

Но у нас формула отличается. Здесь мы имеем \( \frac{10!}{5!3!} \).

2. Вычисляем: \[ 10! = 3628800, \quad 5! = 120, \quad 3! = 6 \]

3. Теперь подставляем в формулу: \[ \frac{10!}{5!3!} = \frac{3628800}{120 \times 6} = \frac{3628800}{720} = 5040 \]

Таким образом, значение \( \frac{10!}{5!3!} = 5040 \).

Итог

• Задача 13: 6
• Задача 14: 24
• Задача 15: 360
• Задача 16: 5040