Давайте разберём каждую задачу, связанную с комбинаторикой.
Задача 13
Условие: Маше, Кате и Лене поручили выучить 3 стихотворения. Девочки решили распределить их между собой по одному. Сколько вариантов это сделать у них есть?
Решение:
- У нас есть 3 стихотворения, и мы хотим распределить их между 3 девочками.
- Для первого стихотворения мы можем выбрать любую из 3 девочек (Маша, Катя или Лена).
- Для второго стихотворения у нас остаются 2 девочки, поскольку одна уже выбрала первое стихотворение.
- Для третьего стихотворения остаётся 1 девочка, которая не выбрала никакого стихотворения.
Следовательно, общее количество способов распределить стихотворения будет равно:
[
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
]
Таким образом, вариантов распределения 6.
Задача 14
Условие: Бургер можно составить из белой булочки или булочки с кунжутом, говяжьей, рыбной котлеты или куриной отбивной и соуса: кетчуп, провансаль, горчичный или чесночный. Сколько вариантов бургера можно сделать?
Решение:
- Булочки: 2 варианта (белая булочка или булочка с кунжутом).
- Котлеты: 3 варианта (говяжья, рыбная или куриная).
- Соусы: 4 варианта (кетчуп, провансаль, горчичный или чесночный).
Чтобы найти общее количество различных бургеров, умножим количество вариантов для каждого компонента:
[
\text{Общее количество бургеров} = \text{Количество булочек} \times \text{Количество котлет} \times \text{Количество соусов}
]
[
= 2 \times 3 \times 4 = 24
]
Таким образом, можно сделать 24 различных бургера.
Задача 15
Условие: Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова «книга»?
Решение:
- В слове «книга» 6 букв, среди которых буква «и» повторяется два раза.
- Чтобы найти количество различных последовательностей, воспользуемся формулой для количества различных перестановок:
[
\frac{n!}{k_1! \times k_2! \times \ldots \times k_m!}
]
где (n) — общее количество букв, а (k_1, k_2, \ldots, k_m) — количество повторений каждой буквы.
В нашем случае:
- (n = 6) (всего букв),
- повторы: буква «и» — 2 раза.
Так что формула будет выглядеть так:
[
\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360
]
Таким образом, из букв слова «книга» можно составить 360 различных последовательностей.
Задача 16
Условие: Найдите значение ( \frac{10!}{5!3!} ).
Решение:
- Используем формулу для вычисления сочетаний, которая выглядит следующим образом:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
В данной задаче (n = 10), (k = 5 + 3 = 8), соответственно, мы можем упростить задачу, выделив (5!) и (3!):
[
C(10, 5) = \frac{10!}{5!5!}
]
Но у нас формула отличается. Здесь мы имеем ( \frac{10!}{5!3!} ).
Вычисляем:
[
10! = 3628800, \quad 5! = 120, \quad 3! = 6
]
Теперь подставляем в формулу:
[
\frac{10!}{5!3!} = \frac{3628800}{120 \times 6} = \frac{3628800}{720} = 5040
]
Таким образом, значение ( \frac{10!}{5!3!} = 5040 ).
Итог
- Задача 13: 6
- Задача 14: 24
- Задача 15: 360
- Задача 16: 5040
