Чтобы решить задачу про треугольник ABC с прямым углом при вершине C, давайте сначала определим, что у нас есть:
- Треугольник ABC, угол C = 90°
- Длина стороны AC = 5
- Длина стороны BC = 5√3
Нам нужно найти угол B и длину стороны AB.
Шаг 1: Нахождение длины стороны AB
Сначала используем теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. У нас угол C = 90°, следовательно, длина стороны AB является гипотенузой.
Обозначим:
- ( a = AC = 5 ) (катет),
- ( b = BC = 5\sqrt{3} ) (катет),
- ( c = AB ) (гипотенуза).
По теореме Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
Подставляем значения:
[
c^2 = (5)^2 + (5\sqrt{3})^2
]
[
c^2 = 25 + (25 \cdot 3)
]
[
c^2 = 25 + 75
]
[
c^2 = 100
]
[
c = \sqrt{100} = 10
]
Таким образом, длина стороны AB равна 10.
Шаг 2: Нахождение угла B
Чтобы найти угол B, можно воспользоваться функцией тангенса, которая определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. В треугольнике ABC:
[
\tan(B) = \frac{AC}{BC} = \frac{a}{b} = \frac{5}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
]
Теперь мы можем найти угол B, используя обратную функцию тангенса:
[
B = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)
]
Зная, что (\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}), можем заключить:
[
B = 30^\circ
]
Ответ:
- Угол B равен (30^\circ).
- Длина стороны AB равна (10).
