Пятый и десятый члены геометрической прогрессии равны 0 , 003 и 50 , 421 соответственно. Найди сумму членов прогрессии,
Чтобы найти сумму членов геометрической прогрессии, сначала нужно понять, что такое геометрическая прогрессия и как ее члены выражаются через первое число и общее отношение.
Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое объемным отношением (или ratio), обозначаемым как \( r \).
Обозначим:
- \( a \) — первый член прогрессии,
- \( r \) — общее отношение прогрессии.
Тогда можно записать:
5-й член прогрессии (обозначим его \( a_5 \)):
\[ a_5 = a \cdot r^{4} = 0.003 \]10-й член прогрессии (обозначим его \( a_{10} \)):
\[ a_{10} = a \cdot r^{9} = 50.421 \]
Теперь у нас есть две уравнения:
- \( a \cdot r^{4} = 0.003 \) (1)
- \( a \cdot r^{9} = 50.421 \) (2)
Теперь мы можем выразить \( a \) из уравнения (1): \[ a = \frac{0.003}{r^{4}} \]
Подставим это значение \( a \) в уравнение (2):
\[ \frac{0.003}{r^{4}} \cdot r^{9} = 50.421 \]
Упрощая, получаем: \[ 0.003 \cdot r^{5} = 50.421 \]
Теперь решим это уравнение для \( r \): \[ r^{5} = \frac{50.421}{0.003} \] \[ r^{5} = 16807 \]
Теперь найдем \( r \) путем извлечения корня пятой степени: \[ r = 16807^{1/5} = 7 \]
Теперь, когда мы знаем \( r \), можем найти \( a \). Подставим значение \( r \) обратно в уравнение (1): \[ a \cdot 7^{4} = 0.003 \] \[ a \cdot 2401 = 0.003 \] \[ a = \frac{0.003}{2401} \] \[ a \approx 1.25 \times 10^{-6} \]
Теперь у нас есть первый член \( a \) и общее отношение \( r \). Теперь мы можем найти сумму первых \( n \) членов геометрической прогрессии. Формула для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии выглядит так: \[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}, \text{ если } r \neq 1 \]
Здесь \( n \) — количество членов. Если мы хотим найти сумму первых 10 членов (\( n = 10 \)): \[ S_{10} = a \frac{1 - r^{10}}{1 - r} \]
Теперь подставим: \[ S_{10} = \left(1.25 \times 10^{-6}\right) \cdot \frac{1 - 7^{10}}{1 - 7} \]
Сначала посчитаем \( 7^{10} \): \[ 7^{10} = 282475249 \]
Теперь подставим в формулу: \[ S_{10} = \left(1.25 \times 10^{-6}\right) \cdot \frac{1 - 282475249}{-6} \]
Выражение становится: \[ S_{10} = \left(1.25 \times 10^{-6}\right) \cdot \frac{-282475248}{-6} \] \[ S_{10} = \left(1.25 \times 10^{-6}\right) \cdot \frac{282475248}{6} \] \[ S_{10} \approx \left(1.25 \times 10^{-6}\right) \cdot 47079208 \] \[ S_{10} \approx 0.0589 \]
Таким образом, сумма первых 10 членов этой геометрической прогрессии приблизительно равна 0.0589.
