14. В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 12 мест, а в шестом ряду 24 места. Сколько мест в…

Для решения задачи определим, сколько мест в каждом ряду амфитеатра. Из условия известно, что:

• В третьем ряду 12 мест.
• В шестом ряду 24 места.
• Количество мест в каждом следующем ряду на одно и то же число больше, чем в предыдущем.

Обозначим количество мест в первом ряду как \( a \), а количество мест, которое добавляется в каждом следующем ряду, как \( d \).

1. Запишем уравнения для третьего и шестого рядов.

   Согласно условиям задачи, для третьего ряда: \[ a + 2d = 12 \] (поскольку в третьем ряду мы имеем два увеличения на \( d \), начиная с первого ряда)

   Для шестого ряда: \[ a + 5d = 24 \] (аналогично, здесь мы имеем пять увеличений на \( d \))

2. Решим систему уравнений.

   У нас есть два уравнения:

   1. \( a + 2d = 12 \)
   2. \( a + 5d = 24 \)

   Выразим \( a \) из первого уравнения: \[ a = 12 - 2d \]

   Подставим это значение во второе уравнение: \[ (12 - 2d) + 5d = 24 \]

   Упростим: \[ 12 + 3d = 24 \]

   Переносим 12 на правую сторону: \[ 3d = 12 \]

   Делим обе стороны на 3: \[ d = 4 \]

3. Теперь подставим значение \( d \) обратно, чтобы найти \( a \).

   Используем \( d = 4 \) в выражении для \( a \): \[ a = 12 - 2 \cdot 4 = 12 - 8 = 4 \]

4. Теперь мы знаем, сколько мест в первом ряду и какова разница между рядами.

   • \( a = 4 \) — количество мест в первом ряду.
   • \( d = 4 \) — количество дополнительных мест в каждом следующем ряду.

5. Найдем количество мест в последнем (15-м) ряду.

   Количество мест в \( n \)-ом ряду можно найти по формуле:

\[ a_n = a + (n - 1)d \]

Подставим \( n = 15 \): \[ a_{15} = 4 + (15 - 1) \cdot 4 \] \[ a_{15} = 4 + 14 \cdot 4 \] \[ a_{15} = 4 + 56 = 60 \]

Таким образом, количество мест в последнем (15-м) ряду амфитеатра составляет 60 мест.