Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Дано:
- Треугольник ( ABC ) с углом ( C = 90^\circ ).
- Длина стороны ( AB = 6 ).
- Значение ( \sin(B) = \frac{3\sqrt{11}}{10} ).
Цель: Найти длину стороны ( BC ).
Шаг 1: Определение сторон треугольника
В правом треугольнике ( ABC ):
- ( AB ) — это гипотенуза.
- ( BC ) — одна из катетов, которую мы хотим найти.
- ( AC ) — второй катет.
Шаг 2: Используем формулу для синуса
Синус угла обозначает отношение противолежащего катета к гипотенузе. В данном случае:
[
\sin(B) = \frac{AC}{AB}
]
Подставляем известные значения:
[
\frac{3\sqrt{11}}{10} = \frac{AC}{6}
]
Шаг 3: Выразим катет ( AC )
Теперь, чтобы найти ( AC ), мы умножим обе стороны уравнения на 6:
[
AC = 6 \cdot \frac{3\sqrt{11}}{10}
]
[
AC = \frac{18\sqrt{11}}{10} = \frac{9\sqrt{11}}{5}
]
Шаг 4: Найдем сторону ( BC ) с применением теоремы Пифагора
Теперь у нас есть обе стороны (( AC ) и гипотенуза ( AB )). Мы можем использовать теорему Пифагора:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставляем известные значения:
[
6^2 = \left(\frac{9\sqrt{11}}{5}\right)^2 + BC^2
]
[
36 = \frac{81 \cdot 11}{25} + BC^2
]
[
36 = \frac{891}{25} + BC^2
]
Шаг 5: Приведем к единому знаменателю
Запишем число 36 в виде дроби с тем же знаменателем:
[
36 = \frac{36 \cdot 25}{25} = \frac{900}{25}
]
Теперь у нас есть:
[
\frac{900}{25} = \frac{891}{25} + BC^2
]
Шаг 6: Найдем ( BC^2 )
Переносим ( \frac{891}{25} ) влево:
[
BC^2 = \frac{900}{25} - \frac{891}{25} = \frac{900 - 891}{25} = \frac{9}{25}
]
Шаг 7: Извлекаем корень
Теперь найдем ( BC ):
[
BC = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}
]
Ответ
Таким образом, длина стороны ( BC ) равна ( \frac{3}{5} ).
