В треугольнике ABC угол C равен 90 ∘ , AB = 6 , sin ( B ) = 3 √ 11 10 . Найдите BC .

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Дано:

• Треугольник \( ABC \) с углом \( C = 90^\circ \).
• Длина стороны \( AB = 6 \).
• Значение \( \sin(B) = \frac{3\sqrt{11}}{10} \).

Цель: Найти длину стороны \( BC \).

Шаг 1: Определение сторон треугольника

В правом треугольнике \( ABC \):

• \( AB \) — это гипотенуза.
• \( BC \) — одна из катетов, которую мы хотим найти.
• \( AC \) — второй катет.

Шаг 2: Используем формулу для синуса

Синус угла обозначает отношение противолежащего катета к гипотенузе. В данном случае: \[ \sin(B) = \frac{AC}{AB} \]

Подставляем известные значения: \[ \frac{3\sqrt{11}}{10} = \frac{AC}{6} \]

Шаг 3: Выразим катет \( AC \)

Теперь, чтобы найти \( AC \), мы умножим обе стороны уравнения на 6: \[ AC = 6 \cdot \frac{3\sqrt{11}}{10} \] \[ AC = \frac{18\sqrt{11}}{10} = \frac{9\sqrt{11}}{5} \]

Шаг 4: Найдем сторону \( BC \) с применением теоремы Пифагора

Теперь у нас есть обе стороны (\( AC \) и гипотенуза \( AB \)). Мы можем использовать теорему Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставляем известные значения: \[ 6^2 = \left(\frac{9\sqrt{11}}{5}\right)^2 + BC^2 \] \[ 36 = \frac{81 \cdot 11}{25} + BC^2 \] \[ 36 = \frac{891}{25} + BC^2 \]

Шаг 5: Приведем к единому знаменателю

Запишем число 36 в виде дроби с тем же знаменателем: \[ 36 = \frac{36 \cdot 25}{25} = \frac{900}{25} \]

Теперь у нас есть: \[ \frac{900}{25} = \frac{891}{25} + BC^2 \]

Шаг 6: Найдем \( BC^2 \)

Переносим \( \frac{891}{25} \) влево: \[ BC^2 = \frac{900}{25} - \frac{891}{25} = \frac{900 - 891}{25} = \frac{9}{25} \]

Шаг 7: Извлекаем корень

Теперь найдем \( BC \): \[ BC = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \]

Ответ

Таким образом, длина стороны \( BC \) равна \( \frac{3}{5} \).