Чтобы решить задачу, сначала разберёмся, как найти вероятность выпадения орла при бросании симметричной монеты.
Условие задачи
Мария бросает монету 113 раз. Нам нужно выяснить, насколько вероятность того, что орёл выпадет ровно 110 раз, меньше вероятности того, что орёл выпадет ровно 109 раз.
Формула вероятности
Вероятность того, что при ( n ) бросках монеты орёл выпадет ровно ( k ) раз, можно вычислить с помощью биномиального распределения:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент (число способов выбрать ( k ) успехов из ( n ) испытаний),
- ( p ) — вероятность успеха (для симметричной монеты ( p = 0.5 )),
- ( n ) — общее количество бросков,
- ( k ) — количество успешных исходов.
Применение к задаче
Подставим значения в формулу:
Вероятность того, что орёл выпадет ровно 110 раз:
[
P(X = 110) = \binom{113}{110} \left(0.5\right)^{110} \left(0.5\right)^{3} = \binom{113}{110} \left(0.5\right)^{113}
]
Вероятность того, что орёл выпадет ровно 109 раз:
[
P(X = 109) = \binom{113}{109} \left(0.5\right)^{109} \left(0.5\right)^{4} = \binom{113}{109} \left(0.5\right)^{113}
]
Сравнение вероятностей
Теперь нужно сравнить вероятности:
[
\frac{P(X = 110)}{P(X = 109)} = \frac{\binom{113}{110}}{\binom{113}{109}}
]
Запишем биномиальные коэффициенты:
[
\binom{113}{110} = \frac{113!}{110!(113-110)!} = \frac{113!}{110! \cdot 3!}
]
[
\binom{113}{109} = \frac{113!}{109!(113-109)!} = \frac{113!}{109! \cdot 4!}
]
Поделим их:
[
\frac{\binom{113}{110}}{\binom{113}{109}} = \frac{4!}{3!} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2
]
Ответ
Вероятность события "орёл выпадет ровно 110 раз" меньше вероятности события "орёл выпадет ровно 109 раз" в 2 раза.
