Найдите стороны прямоугольника если известно периметр 20 см , а площадь 24 см²

Давайте разберёмся с задачей по нахождению сторон прямоугольника, если известны его периметр и площадь.

Дано:

• Периметр (P) = 20 см
• Площадь (S) = 24 см²

Обозначим стороны прямоугольника:

• Длина (a)
• Ширина (b)

Шаг 1: Запишем уравнения по данным

1. Периметр прямоугольника можно выразить так: \[ P = 2(a + b) \] Подставим значение периметра: \[ 20 = 2(a + b) \] Упростим это уравнение: \[ a + b = 10 \quad \text{(уравнение 1)} \]

2. Площадь прямоугольника задаётся следующей формулой: \[ S = a \times b \] Подставим значение площади: \[ 24 = a \times b \quad \text{(уравнение 2)} \]

Шаг 2: Решим систему уравнений

Теперь у нас есть две уравнения:

1. \( a + b = 10 \)
2. \( a \times b = 24 \)

Из уравнения 1 мы можем выразить одну сторону через другую: \[ b = 10 - a \]

Теперь подставим это выражение в уравнение 2: \[ a \times (10 - a) = 24 \] Раскроем скобки: \[ 10a - a^2 = 24 \] Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ -a^2 + 10a - 24 = 0 \] Умножим обе стороны на -1: \[ a^2 - 10a + 24 = 0 \]

Шаг 3: Найдём корни квадратного уравнения

Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] Где \( a = 1, b = -10, c = 24 \): \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4 \]

Корни уравнения находим по формуле: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ a = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ a = \frac{10 \pm 2}{2} \] Получаем два решения: \[ a_1 = \frac{12}{2} = 6 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{8}{2} = 4 \]

Шаг 4: Находим стороны

Таким образом, мы можем определить, что:

1. Если \( a = 6 \), то \( b = 10 - 6 = 4 \)
2. Если \( a = 4 \), то \( b = 10 - 4 = 6 \)

Таким образом, стороны прямоугольника:

• Длина = 6 см
• Ширина = 4 см

Проверка

1. Периметр: \[ P = 2(6 + 4) = 2 \times 10 = 20 \text{ см} \]
2. Площадь: \[ S = 6 \times 4 = 24 \text{ см}^2 \]

Оба условия выполнены, значит, решение верно.