f(x) =x^2-4x+3
Давайте рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \). Мы будем шаг за шагом разбирать, как можно понять и проанализировать эту квадратную функцию.
Шаг 1: Определение критических элементов функции
1.1. Парабола
Функция \( f(x) \) является квадратной, поскольку её наивысшая степень переменной \( x \) равна 2. Типично, квадратная функция имеет форму:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
где:
- \( a = 1 \) (коэффициент перед \( x^2 \)),
- \( b = -4 \) (коэффициент перед \( x \)),
- \( c = 3 \) (свободный член).
1.2. Направление параболы
Поскольку \( a > 0 \) (в данном случае \( a = 1 \)), парабола будет открываться вверх.
Шаг 2: Найдем корни функции
Чтобы найти корни уравнения \( f(x) = 0 \), мы можем использовать формулу дискримината:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Подставим наши значения:
\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
Поскольку \( D > 0 \), у нашего уравнения два различных корня, которые можно найти по формуле:
\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_1 = \frac{{4 + \sqrt{4}}}{2 \cdot 1} = \frac{{4 + 2}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{{4 - \sqrt{4}}}{2 \cdot 1} = \frac{{4 - 2}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Таким образом, корни функции:
- \( x_1 = 3 \)
- \( x_2 = 1 \)
Шаг 3: Находим вершину параболы
Вершина параболы находится по формуле:
\[ x_{vertex} = -\frac{b}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_{vertex} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]
Теперь подставим это значение обратно в функцию, чтобы найти координату \( y \) вершины:
\[ f(2) = (2)^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (2, -1) \).
Шаг 4: График функции
Теперь, имея информацию о корнях \( (1,0) \) и \( (3,0) \) и вершине \( (2, -1) \), мы можем представить график функции:
- График будет параболой, открытой вверх.
- Он будет пересекаться по оси \( x \) в точках 1 и 3.
- Вершина будет находиться ниже оси \( x \) на уровне -1.
Шаг 5: Область определения и область значений
5.1. Область определения
Область определения данной функции — все действительные числа, то есть \( x \in \mathbb{R} \).
5.2. Область значений
Область значений: поскольку парабола открыта вверх и её минимальное значение —1 (в вершине), функция будет принимать все значения от -1 до \( +\infty \). То есть область значений: \( y \geq -1 \).
Вывод
Функция \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) имеет следующие ключевые характеристики:
- Корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \)
- Вершина: \( (2, -1) \)
- Область определения: \( x \in \mathbb{R} \)
- Область значений: \( y \geq -1 \)
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как анализировать квадратные функции! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!
