Сколько пифагоровых троек можно составить только из однозначных чисел?

Пифагорова тройка — это набор из трех натуральных чисел \(a\), \(b\) и \(c\), который удовлетворяет условию \(a^2 + b^2 = c^2\). Чтобы найти все возможные пифагоровы тройки, состоящие только из однозначных чисел, давайте рассмотрим все возможные значения \(a\), \(b\) и \(c\) в диапазоне от 1 до 9.

Шаг 1: Перебор однозначных чисел

Однозначные числа — это числа от 1 до 9. Теперь мы должны перебрать возможные комбинации этих чисел для \(a\) и \(b\), и затем проверить, существует ли соответствующее \(c\), которое удовлетворяет уравнению.

Шаг 2: Проверка комбинаций

Мы будем проверять все комбинации пар \((a, b)\) (где \(a \leq b\)), так как порядок не имеет значения (то есть \((3, 4)\) и \((4, 3)\) — это одна и та же тройка).

Перебор всех пар:

1. \(a = 1\)

   • \(b = 1\): \(1^2 + 1^2 = 2\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 2\): \(1^2 + 2^2 = 5\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 3\): \(1^2 + 3^2 = 10\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 4\): \(1^2 + 4^2 = 17\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 5\): \(1^2 + 5^2 = 26\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 6\): \(1^2 + 6^2 = 37\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 7\): \(1^2 + 7^2 = 50\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 8\): \(1^2 + 8^2 = 65\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 9\): \(1^2 + 9^2 = 82\) (нет такого \(c\))

2. \(a = 2\)

   • \(b = 2\): \(2^2 + 2^2 = 8\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 3\): \(2^2 + 3^2 = 13\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 4\): \(2^2 + 4^2 = 20\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 5\): \(2^2 + 5^2 = 29\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 6\): \(2^2 + 6^2 = 40\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 7\): \(2^2 + 7^2 = 53\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 8\): \(2^2 + 8^2 = 68\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 9\): \(2^2 + 9^2 = 85\) (нет такого \(c\))

3. \(a = 3\)

   • \(b = 3\): \(3^2 + 3^2 = 18\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 4\): \(3^2 + 4^2 = 25\) → \(c = 5\) (пифагорова тройка: \(3, 4, 5\))
   • Далее, увеличиваем \(b\) до 9 аналогично предыдущим шагам:
   • \(b = 5\): \(3^2 + 5^2 = 34\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 6\): \(3^2 + 6^2 = 45\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 7\): \(3^2 + 7^2 = 58\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 8\): \(3^2 + 8^2 = 73\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 9\): \(3^2 + 9^2 = 90\) (нет такого \(c\))

4. \(a = 4\)

   • \(b = 4\): \(4^2 + 4^2 = 32\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 5\): \(4^2 + 5^2 = 41\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 6\): \(4^2 + 6^2 = 52\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 7\): \(4^2 + 7^2 = 65\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 8\): \(4^2 + 8^2 = 80\) (нет такого \(c\))
   • \(b = 9\): \(4^2 + 9^2 = 97\) (нет такого \(c\))

5. \(a = 5\)

   • \(b = 5\) до \(9\):
   • Простые проверки показывают, что существует только одна тройка, которая удовлетворяет условиям. Мы уже ее нашли.

Итог

Таким образом, единственная пифагорова тройка из однозначных чисел — это \((3, 4, 5)\).

Ответ: 1 пифагорова тройка.