Реши способом подстановки систему уравнений: { x 2 − y 2 = 175 x y = 144 { x 2 −y 2 =175 xy=144 Запиши числа в полях ответа. Если решений несколько, тогда запиши ту пару значений,…

Чтобы решить систему уравнений методом подстановки, начнем с имеющихся уравнений:

1. \( x^2 - y^2 = 175 \)
2. \( xy = 144 \)

Шаг 1: Изолируем одно из переменных

Из второго уравнения \( xy = 144 \) выразим \( y \):

\[ y = \frac{144}{x} \]

Шаг 2: Подставляем выражение для \( y \) в первое уравнение

Теперь подставим это выражение для \( y \) в первое уравнение:

\[ x^2 - \left(\frac{144}{x}\right)^2 = 175 \]

Шаг 3: Упрощаем уравнение

Раскроем скобки:

\[ x^2 - \frac{144^2}{x^2} = 175 \]

Умножим всё уравнение на \( x^2 \), чтобы избавиться от дроби:

\[ x^4 - 144^2 = 175x^2 \]

Теперь это уравнение можно записать в стандартной форме:

\[ x^4 - 175x^2 - 144^2 = 0 \]

Шаг 4: Делим на \( x^2 \)

Обозначим \( z = x^2 \). Наше уравнение принимает вид:

\[ z^2 - 175z - 20736 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-175)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20736) \]

Шаг 5: Находим дискриминант

\[ D = 30625 + 82944 = 113569 \]

Шаг 6: Находим корни

Теперь находим корни квадратного уравнения:

\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{175 \pm \sqrt{113569}}{2} \]

Выражение под корнем:

\[ \sqrt{113569} = 337 \]

Теперь подставляем значения в формулу:

\[ z_1 = \frac{175 + 337}{2} = \frac{512}{2} = 256 \] \[ z_2 = \frac{175 - 337}{2} = \frac{-162}{2} = -81 \]

Шаг 7: Отбрасываем отрицательный корень

Так как \( z = x^2 \) должно быть положительным, принимаем только \( z = 256 \).

Шаг 8: Находим \( x \)

Теперь находим \( x \):

\[ x^2 = 256 \implies x = 16 \text{ (так как мы ищем положительное значение)} \]

Шаг 9: Находим \( y \)

Теперь подставим \( x \) обратно в уравнение для \( y \):

\[ y = \frac{144}{x} = \frac{144}{16} = 9 \]

Результат

Полученные значения:

\[ x = 16, \quad y = 9 \]

Таким образом, пара (x, y) равна (16, 9).

Ответ

Наибольшая пара значений: 16, 9.