Чтобы решить систему уравнений методом подстановки, начнем с имеющихся уравнений:
- ( x^2 - y^2 = 175 )
- ( xy = 144 )
Шаг 1: Изолируем одно из переменных
Из второго уравнения ( xy = 144 ) выразим ( y ):
[
y = \frac{144}{x}
]
Шаг 2: Подставляем выражение для ( y ) в первое уравнение
Теперь подставим это выражение для ( y ) в первое уравнение:
[
x^2 - \left(\frac{144}{x}\right)^2 = 175
]
Шаг 3: Упрощаем уравнение
Раскроем скобки:
[
x^2 - \frac{144^2}{x^2} = 175
]
Умножим всё уравнение на ( x^2 ), чтобы избавиться от дроби:
[
x^4 - 144^2 = 175x^2
]
Теперь это уравнение можно записать в стандартной форме:
[
x^4 - 175x^2 - 144^2 = 0
]
Шаг 4: Делим на ( x^2 )
Обозначим ( z = x^2 ). Наше уравнение принимает вид:
[
z^2 - 175z - 20736 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-175)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20736)
]
Шаг 5: Находим дискриминант
[
D = 30625 + 82944 = 113569
]
Шаг 6: Находим корни
Теперь находим корни квадратного уравнения:
[
z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{175 \pm \sqrt{113569}}{2}
]
Выражение под корнем:
[
\sqrt{113569} = 337
]
Теперь подставляем значения в формулу:
[
z_1 = \frac{175 + 337}{2} = \frac{512}{2} = 256
]
[
z_2 = \frac{175 - 337}{2} = \frac{-162}{2} = -81
]
Шаг 7: Отбрасываем отрицательный корень
Так как ( z = x^2 ) должно быть положительным, принимаем только ( z = 256 ).
Шаг 8: Находим ( x )
Теперь находим ( x ):
[
x^2 = 256 \implies x = 16 \text{ (так как мы ищем положительное значение)}
]
Шаг 9: Находим ( y )
Теперь подставим ( x ) обратно в уравнение для ( y ):
[
y = \frac{144}{x} = \frac{144}{16} = 9
]
Результат
Полученные значения:
[
x = 16, \quad y = 9
]
Таким образом, пара (x, y) равна (16, 9).
Ответ
Наибольшая пара значений: 16, 9.
