Реши систему уравнений, используя для удобства графический способ решения: { x 2 + y 2 = 1681 y = x 2 − 41 { x 2 +y 2 =1681 y=x 2 −41

Решим систему уравнений графическим методом. У нас есть два уравнения:

1. \( x^2 + y^2 = 1681 \)
2. \( y = x^2 - 41 \)

Шаг 1: Построение графиков

График первого уравнения

Уравнение \( x^2 + y^2 = 1681 \) является уравнением окружности. Чтобы записать его в стандартной форме, мы видим, что:

• Центр окружности находится в точке \( (0, 0) \).
• Радиус окружности равен \( \sqrt{1681} = 41 \).

То есть, окружность будет иметь радиус 41 и будет выглядеть так:

• Все точки на графике этого уравнения находятся на расстоянии 41 от начала координат.

График второго уравнения

Уравнение \( y = x^2 - 41 \) является параболой, открытой вверх. Чтобы ее построить, можно найти несколько ключевых точек:

1. Vertex (вершина): Вершина параболы будет находиться в точке \( (0, -41) \).
2. Точки, чтобы найти другие координаты:
   • Если \( x = -5 \), тогда \( y = (-5)^2 - 41 = 25 - 41 = -16 \) → точка (-5, -16)
   • Если \( x = 5 \), тогда \( y = 5^2 - 41 = 25 - 41 = -16 \) → точка (5, -16)
   • Если \( x = 6 \), тогда \( y = 6^2 - 41 = 36 - 41 = -5 \) → точка (6, -5)
   • Если \( x = -6 \), тогда \( y = (-6)^2 - 41 = 36 - 41 = -5 \) → точка (-6, -5)

Шаг 2: Поиск точек пересечения

Теперь будем определять на графиках, где пересекаются окружность и парабола. Для этого нужно:

1. Подставим второе уравнение в первое: \[ x^2 + (x^2 - 41)^2 = 1681 \] Раскроем квадрат: \[ x^2 + (x^4 - 82x^2 + 1681) = 1681 \] Упростим: \[ x^4 - 81x^2 = 0 \] Вынесем \( x^2 \): \[ x^2(x^2 - 81) = 0 \] Теперь у нас есть два решения:
   1. \( x^2 = 0 \) → \( x = 0 \)
   2. \( x^2 - 81 = 0 \) → \( x = 9 \) или \( x = -9 \)

Шаг 3: Подсчет значения \( y \)

Теперь подставим найденные значения \( x \) обратно в уравнение \( y = x^2 - 41 \):

1. Если \( x = 0 \): \[ y = 0^2 - 41 = -41 \] Точка: \( (0, -41) \)

2. Если \( x = 9 \): \[ y = 9^2 - 41 = 81 - 41 = 40 \] Точка: \( (9, 40) \)

3. Если \( x = -9 \): \[ y = (-9)^2 - 41 = 81 - 41 = 40 \] Точка: \( (-9, 40) \)

Шаг 4: Итоговые решения

Таким образом, система уравнений имеет следующие решения:

• \( (0, -41) \)
• \( (9, 40) \)
• \( (-9, 40) \)

Эти точки являются точками пересечения графиков окружности и параболы. Вы можете нарисовать эти графики на координатной плоскости для наглядности.