Для решения задачи начнем с того, что нужно определить, сколько игр сыграли 19 команд, каждая из которых играла с каждой другой командой. Это классическая задача, которая решается с помощью комбинаторики.
Шаг 1: Понимание задачи
Каждая команда играет матч с каждой другой командой ровно один раз. Если у нас есть 19 команд, то нам нужно выяснить, сколько уникальных пар команд можно сформировать.
Шаг 2: Формула для подсчета количества игр
Количество матчей (или пар команд) можно найти с помощью формулы для сочетаний. Мы используем формулу для сочетаний ( C(n, k) ), где ( n ) — общее количество предметов (в нашем случае команд), а ( k ) — количество предметов, которые мы выбираем (в нашем случае 2 команды):
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Здесь ( n! ) (факториал n) — это произведение всех целых чисел от 1 до ( n ).
Шаг 3: Применяем формулу
Для нашей задачи:
- ( n = 19 ) (количество команд)
- ( k = 2 ) (мы выбираем 2 команды для игры)
Теперь подставим значения в формулу:
[
C(19, 2) = \frac{19!}{2!(19-2)!} = \frac{19!}{2! \cdot 17!}
]
Шаг 4: Упрощение выражения
Факториалы можно упростить:
[
\frac{19!}{2! \cdot 17!} = \frac{19 \times 18 \times 17!}{2 \times 1 \times 17!}
]
Теперь ( 17! ) в числителе и знаменателе сокращается:
[
= \frac{19 \times 18}{2 \times 1} = \frac{342}{2} = 171
]
Шаг 5: Ответ
Таким образом, количество игр, которые были проведены, равно 171.
Резюме
Мы нашли, что в соревнованиях с 19 командами, каждая из которых играет с каждой другой, всего сыграли 171 матч. Использование формулы сочетаний позволило нам рассчитать количество уникальных пар команд, что дало правильный ответ.
