На координатной плоскости заданы точки А(-1;6), В (-4;-9), С (8;-10) и Д(7;-27). Найдите длину векторов 3 АС-2ВД
Чтобы решить задачу о нахождении длины векторов \(3 \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{BD}\), выполним следующие шаги:
Шаг 1: Найдем векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\)
1.1 Вектор \(\overrightarrow{AC}\)
Вектор \(\overrightarrow{AC}\) определяется как разница координат точки \(C\) и точки \(A\):
\[ \overrightarrow{AC} = C - A = (8 - (-1), -10 - 6) = (8 + 1, -10 - 6) = (9, -16) \]
1.2 Вектор \(\overrightarrow{BD}\)
Аналогично, вектор \(\overrightarrow{BD}\) определяется как разница координат точки \(D\) и точки \(B\):
\[ \overrightarrow{BD} = D - B = (7 - (-4), -27 - (-9)) = (7 + 4, -27 + 9) = (11, -18) \]
Шаг 2: Найдем векторы \(3 \overrightarrow{AC}\) и \(2 \overrightarrow{BD}\)
2.1 Вектор \(3 \overrightarrow{AC}\)
Умножим вектор \(\overrightarrow{AC}\) на 3:
\[ 3 \overrightarrow{AC} = 3(9, -16) = (27, -48) \]
2.2 Вектор \(2 \overrightarrow{BD}\)
Умножим вектор \(\overrightarrow{BD}\) на 2:
\[ 2 \overrightarrow{BD} = 2(11, -18) = (22, -36) \]
Шаг 3: Найдем разность векторов \(3 \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{BD}\)
Вычтем вектор \(2 \overrightarrow{BD}\) из \(3 \overrightarrow{AC}\):
\[ 3 \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{BD} = (27, -48) - (22, -36) = (27 - 22, -48 - (-36)) = (5, -12) \]
Шаг 4: Найдем длину вектора \(3 \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{BD}\)
Длина вектора \((x, y)\) вычисляется по формуле:
\[ \text{Длина} = \sqrt{x^2 + y^2} \]
В нашем случае:
\[ \text{Длина} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]
Ответ
Длина вектора \(3 \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{BD}\) равна 13.
