Чтобы решить задачу о нахождении длины векторов (3 \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{BD}), выполним следующие шаги:
Шаг 1: Найдем векторы (\overrightarrow{AC}) и (\overrightarrow{BD})
1.1 Вектор (\overrightarrow{AC})
Вектор (\overrightarrow{AC}) определяется как разница координат точки (C) и точки (A):
[
\overrightarrow{AC} = C - A = (8 - (-1), -10 - 6) = (8 + 1, -10 - 6) = (9, -16)
]
1.2 Вектор (\overrightarrow{BD})
Аналогично, вектор (\overrightarrow{BD}) определяется как разница координат точки (D) и точки (B):
[
\overrightarrow{BD} = D - B = (7 - (-4), -27 - (-9)) = (7 + 4, -27 + 9) = (11, -18)
]
Шаг 2: Найдем векторы (3 \overrightarrow{AC}) и (2 \overrightarrow{BD})
2.1 Вектор (3 \overrightarrow{AC})
Умножим вектор (\overrightarrow{AC}) на 3:
[
3 \overrightarrow{AC} = 3(9, -16) = (27, -48)
]
2.2 Вектор (2 \overrightarrow{BD})
Умножим вектор (\overrightarrow{BD}) на 2:
[
2 \overrightarrow{BD} = 2(11, -18) = (22, -36)
]
Шаг 3: Найдем разность векторов (3 \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{BD})
Вычтем вектор (2 \overrightarrow{BD}) из (3 \overrightarrow{AC}):
[
3 \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{BD} = (27, -48) - (22, -36) = (27 - 22, -48 - (-36)) = (5, -12)
]
Шаг 4: Найдем длину вектора (3 \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{BD})
Длина вектора ((x, y)) вычисляется по формуле:
[
\text{Длина} = \sqrt{x^2 + y^2}
]
В нашем случае:
[
\text{Длина} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
]
Ответ
Длина вектора (3 \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{BD}) равна 13.
