Задумали трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число
693
693. Найди все числа, большие
900
900 и обладающие таким свойством.
Давайте решим задачу шаг за шагом.
### Условие задачи
У нас есть трёхзначное число, обозначим его как \( xyz \), где \( x, y, z \) — цифры, а \( z \) не равно нулю (последняя цифра не равна нулю). Обратное этому числу — \( zyx \).
При вычитании этих чисел мы получили \( 693 \). То есть, у нас есть равенство:
\[
xyz - zyx = 693
\]
### Преобразование чисел
Для начала давайте выразим \( xyz \) и \( zyx \) в числовом виде.
- \( xyz = 100x + 10y + z \) (где \( x \), \( y \), \( z \) — цифры)
- \( zyx = 100z + 10y + x \)
Теперь подставим их в уравнение:
\[
(100x + 10y + z) - (100z + 10y + x) = 693
\]
### Упрощение уравнения
Раскроем скобки и упростим:
\[
100x + 10y + z - 100z - 10y - x = 693
\]
\[
(100x - x) + (10y - 10y) + (z - 100z) = 693
\]
\[
99x - 99z = 693
\]
\[
99(x - z) = 693
\]
Теперь, разделим обе стороны на 99:
\[
x - z = \frac{693}{99} = 7
\]
### Решение уравнения
Это означает, что:
\[
x = z + 7
\]
### Ограничения на \( x \) и \( z \)
Так как \( x \) и \( z \) — цифры, \( x \) может принимать значения от 1 до 9, а \( z \) — от 1 до 9, при этом \( z \) не может принимать значение, которое делает \( x \) больше 9:
- \( z + 7 \leq 9 \)
- Завершив неравенство, получаем \( z \leq 2 \).
Теперь проверим возможные значения для \( z \):
1. **Если \( z = 1 \)**:
\[
x = 1 + 7 = 8
\]
\( x = 8, y \) может быть любой от 0 до 9:
- Возможные числа: \( 801, 802, 803, 804, 805, 806, 807, 808, 809 \).
2. **Если \( z = 2 \)**:
\[
x = 2 + 7 = 9
\]
\( x = 9, y \) может быть также от 0 до 9:
- Возможные числа: \( 902, 903, 904, 905, 906, 907, 908, 909 \).
### Подведем итоги
Таким образом, все трёхзначные числа, большие 900 и обладающие необходимым свойством:
- Это числа \( 902, 903, 904, 905, 906, 907, 908, 909 \).
- И числа \( 801, 802, 803, 804, 805, 806, 807, 808, 809 \) меньше 900, но не соответствуют вашей просьбе про числа больше 900.
### Ответ
Так что искомые числа — это:
\[
902, 903, 904, 905, 906, 907, 908, 909
\]
