Задумали трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 693 693 . Найди…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Условие задачи

У нас есть трёхзначное число, обозначим его как \( xyz \), где \( x, y, z \) — цифры, а \( z \) не равно нулю (последняя цифра не равна нулю). Обратное этому числу — \( zyx \).

При вычитании этих чисел мы получили \( 693 \). То есть, у нас есть равенство:

\[ xyz - zyx = 693 \]

Преобразование чисел

Для начала давайте выразим \( xyz \) и \( zyx \) в числовом виде.

• \( xyz = 100x + 10y + z \) (где \( x \), \( y \), \( z \) — цифры)
• \( zyx = 100z + 10y + x \)

Теперь подставим их в уравнение:

\[ (100x + 10y + z) - (100z + 10y + x) = 693 \]

Упрощение уравнения

Раскроем скобки и упростим:

\[ 100x + 10y + z - 100z - 10y - x = 693 \] \[ (100x - x) + (10y - 10y) + (z - 100z) = 693 \] \[ 99x - 99z = 693 \] \[ 99(x - z) = 693 \]

Теперь, разделим обе стороны на 99:

\[ x - z = \frac{693}{99} = 7 \]

Решение уравнения

Это означает, что:

\[ x = z + 7 \]

Ограничения на \( x \) и \( z \)

Так как \( x \) и \( z \) — цифры, \( x \) может принимать значения от 1 до 9, а \( z \) — от 1 до 9, при этом \( z \) не может принимать значение, которое делает \( x \) больше 9:

• \( z + 7 \leq 9 \)
• Завершив неравенство, получаем \( z \leq 2 \).

Теперь проверим возможные значения для \( z \):

1. Если \( z = 1 \): \[ x = 1 + 7 = 8 \] \( x = 8, y \) может быть любой от 0 до 9:

   • Возможные числа: \( 801, 802, 803, 804, 805, 806, 807, 808, 809 \).

2. Если \( z = 2 \): \[ x = 2 + 7 = 9 \] \( x = 9, y \) может быть также от 0 до 9:

   • Возможные числа: \( 902, 903, 904, 905, 906, 907, 908, 909 \).

Подведем итоги

Таким образом, все трёхзначные числа, большие 900 и обладающие необходимым свойством:

• Это числа \( 902, 903, 904, 905, 906, 907, 908, 909 \).
• И числа \( 801, 802, 803, 804, 805, 806, 807, 808, 809 \) меньше 900, но не соответствуют вашей просьбе про числа больше 900.

Ответ

Так что искомые числа — это:

\[ 902, 903, 904, 905, 906, 907, 908, 909 \]