Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 4848 часов. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся…
Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 4848 часов. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 121121 час. За сколько часов мог бы оформить учебник алгебры каждый дизайнер, работая отдельно?
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим время, за которое каждый дизайнер может оформить учебник алгебры отдельно.
Обозначим:
- \( x \) — время, за которое первый дизайнер может выполнить всю работу самостоятельно.
- \( y \) — время, за которое второй дизайнер может выполнить всю работу самостоятельно.
- Составление уравнений:
Мы знаем, что:
- Совместная работа двух дизайнеров заняла 4848 часов.
- Если бы один дизайнер выполнял половину работы, а затем второй — оставшуюся половину, работа заняла бы 121121 часов.
Сначала рассмотрим первую ситуацию: работа выполняется совместно. Производительность работы при совместной работе дизайнеров будет определяться как сумма их производительностей: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4848} \]
Теперь рассмотрим вторую ситуацию. Если один дизайнер выполняет половину работы, это значит, что обе части работы по времени будут равны. Таким образом: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{121121} \]
Упростим второе уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{121121} \]
Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4848} \quad (1)\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{121121} \quad (2) \end{cases} \]
Решение системы:
Сравним оба уравнения:
Из уравнения (1) мы можем его записать как: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4848} \]
Из уравнения (2), также: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{121121} \]
Теперь у нас есть два равенства, что может вызвать подозрение. Давайте привяжем второе уравнение (поскольку оно зависит от первой половины работы).
Разделим \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) на 2: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4848} \]
Определим \( x \) и \( y \): \[ x = \frac{a}{b} \quad и \quad y = \frac{b}{a}, \] где a и b это их трудозатраты.
- Преобразуем: Для первого уравнения, находим: \[ x + y = \frac{4848xy}{(x+y)}, \] где x+y = x*(y/xy).
Решим: Производительность (1): \[ (x + y) = 121121, \] и \( x+y у нас будет равно 4848 \).
Вернемся к первоначальным переменным и преобразуем: Мы получаем: \[ xy = 121121 \quad (4) \]
- Теперь, используя \( x+y \) и \( xy \): \[ x, y = \frac{(x+y) \pm \sqrt{(x+y)^2 - 4xy}}{2}. \]
Где: A = 121121 и B = 4848.
- Получаем корни, и найдем значения: Типичные способы будут: \[ x = 121121 и y = 4848 \quad (5) \]
Таким образом, после поиска:
- Первый дизайнер оформляет учебник за 121121 часа.
- Второй дизайнер — за 4848 часов.
Это и будут искомые времена, которые могли бы потратить оба.
