Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим время, за которое каждый дизайнер может оформить учебник алгебры отдельно.
Обозначим:
- ( x ) — время, за которое первый дизайнер может выполнить всю работу самостоятельно.
- ( y ) — время, за которое второй дизайнер может выполнить всю работу самостоятельно.
- Составление уравнений:
Мы знаем, что:
- Совместная работа двух дизайнеров заняла 4848 часов.
- Если бы один дизайнер выполнял половину работы, а затем второй — оставшуюся половину, работа заняла бы 121121 часов.
Сначала рассмотрим первую ситуацию: работа выполняется совместно. Производительность работы при совместной работе дизайнеров будет определяться как сумма их производительностей:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4848}
]
Теперь рассмотрим вторую ситуацию. Если один дизайнер выполняет половину работы, это значит, что обе части работы по времени будут равны. Таким образом:
[
\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{121121}
]
Упростим второе уравнение:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{121121}
]
Теперь у нас есть система уравнений:
[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4848} \quad (1)\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{121121} \quad (2)
\end{cases}
]
Решение системы:
Сравним оба уравнения:
Из уравнения (1) мы можем его записать как:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4848}
]
Из уравнения (2), также:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{121121}
]
Теперь у нас есть два равенства, что может вызвать подозрение. Давайте привяжем второе уравнение (поскольку оно зависит от первой половины работы).
Разделим ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ) на 2:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4848}
]
Определим ( x ) и ( y ):
[
x = \frac{a}{b} \quad и \quad y = \frac{b}{a},
]
где a и b это их трудозатраты.
- Преобразуем:
Для первого уравнения, находим:
[
x + y = \frac{4848xy}{(x+y)},
]
где x+y = x*(y/xy).
Решим:
Производительность (1):
[
(x + y) = 121121,
]
и ( x+y у нас будет равно 4848 ).
Вернемся к первоначальным переменным и преобразуем:
Мы получаем:
[
xy = 121121 \quad (4)
]
- Теперь, используя ( x+y ) и ( xy ):
[
x, y = \frac{(x+y) \pm \sqrt{(x+y)^2 - 4xy}}{2}.
]
Где:
A = 121121 и B = 4848.
- Получаем корни, и найдем значения:
Типичные способы будут:
[
x = 121121 и y = 4848 \quad (5)
]
Таким образом, после поиска:
- Первый дизайнер оформляет учебник за 121121 часа.
- Второй дизайнер — за 4848 часов.
Это и будут искомые времена, которые могли бы потратить оба.
