7)В треугольнике АВС АС=BC, AB = 18 tg A = √7/3 Найдите длину Ac 8)В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC = 1 BC = √99 Найдите cos A.

Задача 7:

Дано:

• Треугольник ABC
• AC = BC (т.е. треугольник равнобедренный)
• AB = 18
• tg A = √7/3

Найти: длину AC.

Решение:

1. Определение сторон треугольника:
   Поскольку AC = BC, обозначим AC как x. Таким образом, BC также будет x.

2. Использование тангенса угла A:
   Напомним, что тангенс угла в треугольнике равен отношению противолежащей стороны к прилежащей. В данном случае, угол A противолежащей стороны — это сторона AC, а прилежащей — BC.

   Мы можем использовать следующую формулу для тангенса угла A: \[ \tan A = \frac{AC}{h} = \frac{x}{h}, \] где h — это высота, опущенная из точки A на сторону BC.

3. Стороны в зависимости от угла A:
   В равнобедренном треугольнике мы можем также использовать закон косинусов: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos A. \] Подставляя значения, мы получаем: \[ 18^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos A. \] Учитывая, что AC = BC, это упростится до: \[ 324 = 2x^2(1 - \cos A). \]

4. Находим cos A через tg A:
   Из соотношений, при известном tg A, знаем формулу: \[ \tan^2 A + 1 = \sec^2 A. \] Так как tg A = √7/3, тогда: \[ \sec^2 A = \left(\frac{\sqrt{7}}{3}\right)^2 + 1 = \frac{7}{9} + 1 = \frac{16}{9}. \] Значит, cos A: \[ \cos A = \frac{3}{4}. \]

5. Подставляем значение cos A в уравнение:
   Теперь вернемся к уравнению закона косинусов: \[ 324 = 2x^2\left(1 - \frac{3}{4}\right) = 2x^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{x^2}{2}. \] Упрощаем: \[ 324 \times 2 = x^2, \] \[ 648 = x^2, \quad x = \sqrt{648} = 6\sqrt{18} = 18\sqrt{2}. \]

6. Ответ:
   Длина AC = 18√2.

Задача 8:

Дано:

• Треугольник ABC
• Угол C = 90°
• AC = 1
• BC = √99

Найти: cos A.

Решение:

1. Используем определение косинуса:
   Косинус угла A в прямоугольном треугольнике определяется как отношение прилежащей стороны (AC) к гипотенузе (AB). \[ \cos A = \frac{AC}{AB}. \]

2. Выражение гипотенузы AB:
   Сначала нужно найти длину гипотенузы AB, используя теорему Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2. \] В нашем случае: \[ AB^2 = 1^2 + (\sqrt{99})^2 = 1 + 99 = 100. \] Следовательно, \[ AB = \sqrt{100} = 10. \]

3. Находим cos A:
   Теперь подставим значения в формулу для косинуса: \[ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{10}. \]

4. Ответ:
   cos A = 0.1.