В равнобедренном треугольнике ABC , с основанием AC проведена биссектриса AD . Найдите градусную меру ∠ ABC , если ∠ ADC = 162 ∘ .
Для решения задачи начнем с анализа заданного равнобедренного треугольника \( ABC \), где \( AB = AC \). Мы знаем, что \( AD \) — биссектриса, проведенная из вершины \( A \) к стороне \( BC \), а также, что \( \angle ADC = 162^\circ \).
Свойства биссектрисы: Биссектрисы в треугольнике делят угол на две равные части. То есть, если \( \angle BAC \) — это угол при вершине \( A \), то \( \angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAC \).
Внутренние углы треугольника: В любом треугольнике сумма углов равна \( 180^\circ \). В нашем случае: \[ \angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ \]
Обозначим \( \angle ABC = \angle ACB = x \) (поскольку треугольник равнобедренный), тогда: \[ x + x + \angle BAC = 180^\circ \] или \[ 2x + \angle BAC = 180^\circ \] значит \[ \angle BAC = 180^\circ - 2x \]
Связь с углом \( \angle ADC \): Мы знаем, что: \[ \angle ADC = 180^\circ - \angle BAC \] Подставим значение для \( \angle BAC \): \[ 162^\circ = 180^\circ - (180^\circ - 2x) \] Это упрощается до: \[ 162^\circ = 2x \]
Нахождение x: Разделим обе стороны на 2: \[ x = \frac{162^\circ}{2} = 81^\circ \]
Итак, мы нашли, что угол \( \angle ABC \): \[ \angle ABC = 81^\circ \]
- Ответ: Градусная мера угла \( \angle ABC \) составляет \( 81^\circ \).
Теперь, подводя итог, мы можем заявить, что в равнобедренном треугольнике \( ABC \) с основанием \( AC \) и биссектрисой \( AD \), нарисованной из вершины \( A \) к углу \( C \), градусная мера угла \( \angle ABC \) равна \( 81^\circ \).
