Обозначим стороны треугольника как ( a ) и ( b ), причем пусть ( a = 2b ) (одна сторона в два раза больше другой). Угол между ними, ( C ), равен 60°.
Для нахождения углов треугольника можно воспользоваться теоремой косинусов:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
]
Поскольку ( a = 2b ), подставим это в уравнение:
[
c^2 = (2b)^2 + b^2 - 2(2b)(b)\cos(60^\circ)
]
[
c^2 = 4b^2 + b^2 - 2(2b)(b)\cdot\frac{1}{2}
]
[
c^2 = 4b^2 + b^2 - 2b^2
]
[
c^2 = 3b^2
]
[
c = b\sqrt{3}
]
Теперь мы можем использовать теорему синусов для нахождения углов. По теореме синусов:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{2b}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{b\sqrt{3}}{\sin 60^\circ}
]
Из первого равенства:
[
\frac{2b}{\sin A} = \frac{b\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
]
Сократим ( b ):
[
\frac{2}{\sin A} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
]
[
\frac{2}{\sin A} = 2
]
Таким образом,
[
\sin A = 1 \Rightarrow A = 90^\circ
]
Теперь используем сумму углов в треугольнике. Углы в треугольнике ( A + B + C = 180^\circ ):
[
90^\circ + B + 60^\circ = 180^\circ
]
Отсюда:
[
B = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ
]
Таким образом, меньший угол треугольника:
[
\text{Меньший угол} = B = 30^\circ
]
