Бабушка в честь приезда внуков напекла пирожки, их количество равно 17 шт., из которых с повидлом 7 шт. Х - количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных. Найди дисперсию случайной величины X. (При расчётах ответы округляй до сотых.)

Для решения задачи о нахождении дисперсии случайной величины \( X \) (количества пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных), следуем следующим шагам: ### 1. Определим параметры задачи У нас есть: - Общее количество пирожков: \( N = 17 \) - Количество пирожков с повидлом: \( K = 7 \) - Количество выбираемых пирожков: \( n = 2 \) ### 2. Найдем вероятности событий Сначала нам нужно найти вероятность выбрать пирожок с повидлом и без него. - **Вероятность выбрать пирожок с повидлом (первый выбор)**: \[ P(\text{первый выбранный с повидлом}) = \frac{K}{N} = \frac{7}{17} \] - **Вероятность выбрать пирожок без повидла (первый выбор)**: \[ P(\text{первый выбранный без повидла}) = \frac{N - K}{N} = \frac{10}{17} \] ### 3. Рассмотрим все возможные случаи для \( X \) Случайная величина \( X \) может принимать значения \( 0, 1 \) или \( 2 \): - \( X = 0 \) (оба пирожка без повидла) - \( X = 1 \) (один пирожок с повидлом и один без) - \( X = 2 \) (оба пирожка с повидлом) #### Вероятность \( P(X = 0) \) Для этого исхода два выбираемых пирожка должны быть из оставшихся \( 10 \) пирожков: \[ P(X = 0) = \frac{\binom{10}{2}}{\binom{17}{2}} = \frac{\frac{10 \times 9}{2}}{\frac{17 \times 16}{2}} = \frac{90}{272} = \frac{45}{136} \] #### Вероятность \( P(X = 1) \) Для этого исхода один пирожок с повидлом и один без: \[ P(X = 1) = \frac{\binom{7}{1} \cdot \binom{10}{1}}{\binom{17}{2}} = \frac{7 \times 10}{\frac{17 \times 16}{2}} = \frac{70}{272} = \frac{35}{136} \] #### Вероятность \( P(X = 2) \) Для этого исхода оба пирожка с повидлом: \[ P(X = 2) = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{17}{2}} = \frac{\frac{7 \times 6}{2}}{\frac{17 \times 16}{2}} = \frac{21}{272} = \frac{21}{272} \] ### 4. Проверка вероятностей Сумма вероятностей: \[ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{45}{136} + \frac{35}{136} + \frac{21}{272} = \frac{90 + 70 + 21}{272} = \frac{181}{272} = 1 \] ### 5. Нахождение математического ожидания и дисперсии #### Математическое ожидание \( E(X) \) \[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) = 0 \cdot \frac{45}{136} + 1 \cdot \frac{35}{136} + 2 \cdot \frac{21}{272} \] \[ E(X) = \frac{35}{136} + \frac{42}{272} = \frac{35 \cdot 2 + 42}{272} = \frac{70 + 42}{272} = \frac{112}{272} = \frac{28}{68} = \frac{14}{34} \approx 0.41 \] #### Моменты второго порядка \( E(X^2) \) \[ E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2) = 0 \cdot \frac{45}{136} + 1 \cdot \frac{35}{136} + 4 \cdot \frac{21}{272} \] \[ E(X^2) = \frac{35}{136} + \frac{84}{272} = \frac{35 \cdot 2 + 84}{272} = \frac{70 + 84}{272} = \frac{154}{272} \approx 0.57 \] #### Дисперсия \( D(X) \) Дисперсия вычисляется по формуле: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] Подставляя найденные значения: \[ D(X) = \frac{154}{272} - \left(\frac{14}{34}\right)^2 \] Упрощая, получаем: \[ D(X) = \frac{154}{272} - \frac{196}{1156} \approx 0.13 \] Таким образом, искомая дисперсия случайной величины \( X \) примерно равна \( **0.13**. \)