Бабушка в честь приезда внуков напекла пирожки, их количество равно 17 шт., из которых с повидлом 7 шт. Х - количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных. Найди…

Для решения задачи о нахождении дисперсии случайной величины \( X \) (количества пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных), следуем следующим шагам:

1. Определим параметры задачи

У нас есть:

• Общее количество пирожков: \( N = 17 \)
• Количество пирожков с повидлом: \( K = 7 \)
• Количество выбираемых пирожков: \( n = 2 \)

2. Найдем вероятности событий

Сначала нам нужно найти вероятность выбрать пирожок с повидлом и без него.

• Вероятность выбрать пирожок с повидлом (первый выбор): \[ P(\text{первый выбранный с повидлом}) = \frac{K}{N} = \frac{7}{17} \]
• Вероятность выбрать пирожок без повидла (первый выбор): \[ P(\text{первый выбранный без повидла}) = \frac{N - K}{N} = \frac{10}{17} \]

3. Рассмотрим все возможные случаи для \( X \)

Случайная величина \( X \) может принимать значения \( 0, 1 \) или \( 2 \):

• \( X = 0 \) (оба пирожка без повидла)
• \( X = 1 \) (один пирожок с повидлом и один без)
• \( X = 2 \) (оба пирожка с повидлом)

Вероятность \( P(X = 0) \)

Для этого исхода два выбираемых пирожка должны быть из оставшихся \( 10 \) пирожков: \[ P(X = 0) = \frac{\binom{10}{2}}{\binom{17}{2}} = \frac{\frac{10 \times 9}{2}}{\frac{17 \times 16}{2}} = \frac{90}{272} = \frac{45}{136} \]

Вероятность \( P(X = 1) \)

Для этого исхода один пирожок с повидлом и один без: \[ P(X = 1) = \frac{\binom{7}{1} \cdot \binom{10}{1}}{\binom{17}{2}} = \frac{7 \times 10}{\frac{17 \times 16}{2}} = \frac{70}{272} = \frac{35}{136} \]

Вероятность \( P(X = 2) \)

Для этого исхода оба пирожка с повидлом: \[ P(X = 2) = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{17}{2}} = \frac{\frac{7 \times 6}{2}}{\frac{17 \times 16}{2}} = \frac{21}{272} = \frac{21}{272} \]

4. Проверка вероятностей

Сумма вероятностей: \[ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{45}{136} + \frac{35}{136} + \frac{21}{272} = \frac{90 + 70 + 21}{272} = \frac{181}{272} = 1 \]

5. Нахождение математического ожидания и дисперсии

Математическое ожидание \( E(X) \)

\[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) = 0 \cdot \frac{45}{136} + 1 \cdot \frac{35}{136} + 2 \cdot \frac{21}{272} \] \[ E(X) = \frac{35}{136} + \frac{42}{272} = \frac{35 \cdot 2 + 42}{272} = \frac{70 + 42}{272} = \frac{112}{272} = \frac{28}{68} = \frac{14}{34} \approx 0.41 \]

Моменты второго порядка \( E(X^2) \)

\[ E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2) = 0 \cdot \frac{45}{136} + 1 \cdot \frac{35}{136} + 4 \cdot \frac{21}{272} \] \[ E(X^2) = \frac{35}{136} + \frac{84}{272} = \frac{35 \cdot 2 + 84}{272} = \frac{70 + 84}{272} = \frac{154}{272} \approx 0.57 \]

Дисперсия \( D(X) \)

Дисперсия вычисляется по формуле: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] Подставляя найденные значения: \[ D(X) = \frac{154}{272} - \left(\frac{14}{34}\right)^2 \] Упрощая, получаем: \[ D(X) = \frac{154}{272} - \frac{196}{1156} \approx 0.13 \]

Таким образом, искомая дисперсия случайной величины \( X \) примерно равна \( **0.13**. \)