Для решения задачи о нахождении дисперсии случайной величины ( X ), которая представляет собой количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных пирожков, используем теорию вероятностей. Рассмотрим подробнее шаги решения.
Шаг 1: Определение случайной величины
Случайная величина ( X ) может принимать значения 0, 1 или 2, в зависимости от того, сколько пирожков с повидлом будет выбрано.
Шаг 2: Определение общего количества и вероятностей
- Общее количество пирожков: 10 (из них 4 с повидлом и 6 без повидла).
- Общее количество способов выбрать 2 пирожка из 10:
[
C(10, 2) = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45
]
Теперь рассчитаем вероятности для каждой из возможных величин ( X ).
Шаг 3: Вычисление вероятностей
Вероятность ( P(X = 0) ):
- Выбираем 2 пирожка без повидла.
- Количество способов выбрать 2 пирожка без повидла:
[
C(6, 2) = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15
]
- Таким образом,
[
P(X = 0) = \frac{C(6, 2)}{C(10, 2)} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}
]
Вероятность ( P(X = 1) ):
- Выбираем 1 пирожок с повидлом и 1 без.
- Количество способов выбора:
[
C(4, 1) \cdot C(6, 1) = 4 \cdot 6 = 24
]
- Таким образом,
[
P(X = 1) = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}
]
Вероятность ( P(X = 2) ):
- Выбираем 2 пирожка с повидлом.
- Количество способов выбора:
[
C(4, 2) = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6
]
- Таким образом,
[
P(X = 2) = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}
]
Шаг 4: Ожидание ( E(X) )
Теперь найдем математическое ожидание ( E(X) ):
[
E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2)
]
[
E(X) = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{8}{15} + 2 \cdot \frac{2}{15} = 0 + \frac{8}{15} + \frac{4}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}
]
Шаг 5: Ожидание ( E(X^2) )
Теперь найдем ожидаемое значение ( E(X^2) ):
[
E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2)
]
[
E(X^2) = 0 + 1 \cdot \frac{8}{15} + 4 \cdot \frac{2}{15} = \frac{8}{15} + \frac{8}{15} = \frac{16}{15}
]
Шаг 6: Дисперсия
Дисперсия ( D(X) ) вычисляется по формуле:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
[
D(X) = \frac{16}{15} - \left(\frac{4}{5}\right)^2
]
[
\left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}
]
Приведем к общему знаменателю 75:
[
\frac{16}{15} = \frac{80}{75}, \quad \frac{16}{25} = \frac{48}{75}
]
Теперь можно подставить:
[
D(X) = \frac{80}{75} - \frac{48}{75} = \frac{32}{75}
]
Ответ
Таким образом, дисперсия случайной величины ( X ) равна:
[
\boxed{0.43}
]
