Бабушка в честь приезда внуков напекла пирожки, их количество равно 10 шт., из которых с повидлом 4 шт. Х количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных. Найди…

Для решения задачи о нахождении дисперсии случайной величины \( X \), которая представляет собой количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных пирожков, используем теорию вероятностей. Рассмотрим подробнее шаги решения.

Шаг 1: Определение случайной величины

Случайная величина \( X \) может принимать значения 0, 1 или 2, в зависимости от того, сколько пирожков с повидлом будет выбрано.

Шаг 2: Определение общего количества и вероятностей

1. Общее количество пирожков: 10 (из них 4 с повидлом и 6 без повидла).
2. Общее количество способов выбрать 2 пирожка из 10: \[ C(10, 2) = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45 \]

Теперь рассчитаем вероятности для каждой из возможных величин \( X \).

Шаг 3: Вычисление вероятностей

1. Вероятность \( P(X = 0) \):

   • Выбираем 2 пирожка без повидла.
   • Количество способов выбрать 2 пирожка без повидла: \[ C(6, 2) = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \]
   • Таким образом, \[ P(X = 0) = \frac{C(6, 2)}{C(10, 2)} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3} \]

2. Вероятность \( P(X = 1) \):

   • Выбираем 1 пирожок с повидлом и 1 без.
   • Количество способов выбора: \[ C(4, 1) \cdot C(6, 1) = 4 \cdot 6 = 24 \]
   • Таким образом, \[ P(X = 1) = \frac{24}{45} = \frac{8}{15} \]

3. Вероятность \( P(X = 2) \):

   • Выбираем 2 пирожка с повидлом.
   • Количество способов выбора: \[ C(4, 2) = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 \]
   • Таким образом, \[ P(X = 2) = \frac{6}{45} = \frac{2}{15} \]

Шаг 4: Ожидание \( E(X) \)

Теперь найдем математическое ожидание \( E(X) \): \[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) \] \[ E(X) = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{8}{15} + 2 \cdot \frac{2}{15} = 0 + \frac{8}{15} + \frac{4}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \]

Шаг 5: Ожидание \( E(X^2) \)

Теперь найдем ожидаемое значение \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2) \] \[ E(X^2) = 0 + 1 \cdot \frac{8}{15} + 4 \cdot \frac{2}{15} = \frac{8}{15} + \frac{8}{15} = \frac{16}{15} \]

Шаг 6: Дисперсия

Дисперсия \( D(X) \) вычисляется по формуле: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] \[ D(X) = \frac{16}{15} - \left(\frac{4}{5}\right)^2 \] \[ \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} \] Приведем к общему знаменателю 75: \[ \frac{16}{15} = \frac{80}{75}, \quad \frac{16}{25} = \frac{48}{75} \] Теперь можно подставить: \[ D(X) = \frac{80}{75} - \frac{48}{75} = \frac{32}{75} \]

Ответ

Таким образом, дисперсия случайной величины \( X \) равна: \[ \boxed{0.43} \]