√8-x=2-x

Для того чтобы решить уравнение \( \sqrt{8 - x} = 2 - x \), давайте разберем его шаг за шагом.

Шаг 1: Изолируем корень

У нас есть уравнение: \[ \sqrt{8 - x} = 2 - x \] Сначала нам нужно избавиться от квадратного корня. Для этого возведем обе стороны уравнения в квадрат: \[ (\sqrt{8 - x})^2 = (2 - x)^2 \] Это приводит нас к: \[ 8 - x = (2 - x)(2 - x) \] Теперь разложим правую часть: \[ 8 - x = 4 - 4x + x^2 \]

Шаг 2: Приводим всё к одной стороне

Теперь перенесем всё в одну сторону уравнения: \[ 8 - x - 4 + 4x - x^2 = 0 \] Упрощаем: \[ -x^2 + 3x + 4 = 0 \] Умножим на -1, чтобы превратить уравнение в стандартную форму: \[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -3, c = -4 \).

Сначала найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]

Теперь подставим в формулу: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{3 \pm 5}{2} \]

Шаг 4: Находим корни

Теперь найдем два возможных значения для \( x \):

1. \( x_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
2. \( x_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Шаг 5: Проверка корней

Теперь нам нужно проверить полученные значения в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они действительно являются корнями.

Для \( x_1 = 4 \): \[ \sqrt{8 - 4} = \sqrt{4} = 2 \] \[ 2 - 4 = -2 \quad \text{(не равно)} \] \( x_1 = 4 \) не является решением.

Для \( x_2 = -1 \): \[ \sqrt{8 - (-1)} = \sqrt{9} = 3 \] \[ 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 \quad \text{(равно)} \] \( x_2 = -1 \) является решением.

Ответ

Таким образом, единственным решением уравнения \( \sqrt{8 - x} = 2 - x \) является: \[ x = -1 \]