В параллелограмме A B C D \displaystyle ABCD ABCD со сторонами A B = 4 \displaystyle AB=4 AB=4 и B C = 3 \displaystyle BC=3 BC=3 и диагональю A C = 6 \displaystyle AC=6 AC=6…
В параллелограмме A B C D \displaystyle ABCD ABCD со сторонами A B = 4 \displaystyle AB=4 AB=4 и B C = 3 \displaystyle BC=3 BC=3 и диагональю A C = 6 \displaystyle AC=6 AC=6 найдите длину вектора A C → + D A → . \displaystyle \overrightarrow {AC}+\overrightarrow {DA}. AC + DA .
Для решения задачи начнем с того, что в параллелограмме ABCD противолежащие стороны равны, а диагонали пересекаются в их серединах.
Определение векторов. Векторы обозначим следующим образом:
- Вектор \( \overrightarrow{AC} \) — это вектор от точки A (начальная точка) к точке C (конечная точка).
- Вектор \( \overrightarrow{DA} \) — это вектор от точки D (начальная точка) к точке A (конечная точка).
Поиск координат вершин параллелограмма.
Пусть точка A имеет координаты \( (0, 0) \).
Точка B будет иметь координаты \( (4, 0) \), так как \( AB = 4 \).
Для нахождения координат точки C, которая находится от точки B на расстоянии \( BC = 3 \) и которая также должна быть дианональной от точки A на расстоянии 6, можно обозначить координаты C как \( (4, y) \). У нас есть прямоходная и вертикальная позиции, по теореме Пифагора мы можем найти y: \[ \sqrt{(4 - 0)^2 + (y - 0)^2} = 6 \] \[ \sqrt{16 + y^2} = 6 \] Квадрат обеих сторон: \[ 16 + y^2 = 36 \implies y^2 = 20 \implies y = \sqrt{20} \approx 4.47 \] Таким образом, точка C имеет координаты \( (4, \sqrt{20}) \).
Для нахождения координат точки D, так как в параллелограмме ABCD противолежащие стороны равны, D будет находиться на координатах \( (0, \sqrt{20}) \).
Поиск векторов.
- Вектор \( \overrightarrow{AC} \) можно найти следующим образом: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (4 - 0, \sqrt{20} - 0) = (4, \sqrt{20}) \]
- Вектор \( \overrightarrow{DA} \): \[ \overrightarrow{DA} = A - D = (0 - 0, 0 - \sqrt{20}) = (0, -\sqrt{20}) \]
Сложение векторов. Теперь сложим векторы: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DA} = (4, \sqrt{20}) + (0, -\sqrt{20}) = (4, \sqrt{20} - \sqrt{20}) = (4, 0) \]
Таким образом, длина вектора \( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DA} \) равна \( 4 \), направленный вдоль оси X.
Ответ: Длина вектора \( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DA} = 4 \).
