Начерти граф в кот.ором: 5 вершин и 7 рёбер 6 вершин, степени которых равны 1,1,2,3,3,4 сумма степеней вершин равна 2

Давайте разберемся с заданием. Нам необходимо построить граф с определенными характеристиками — 5 вершинами и 7 рёбрами, а также граф с 6 вершинами, степени которых равны 1, 1, 2, 3, 3, 4, где сумма степеней вершин равна 2.

Шаг 1: Граф с 5 вершинами и 7 рёбрами

Для начала решим первую часть задачи. Сначала необходимо уточнить, что граф с 5 вершинами и 7 рёбрами не может существовать в простой форме, поскольку максимальное количество рёбер в графе с n вершинами равно \( \frac{n(n-1)}{2} \).

Для 5 вершин максимальное количество рёбер будет: \[ \frac{5 \cdot (5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \] Это означает, что в теории графов можно построить граф с 5 вершинами и 7 рёбрами, но каждая вершина не может иметь одинаковую степень.

Шаг 2: Граф с 6 вершинами и заданными степенями

Теперь разберём граф с 6 вершинами, степени которых равны 1, 1, 2, 3, 3, 4. Проверим, возможно ли создать такой граф.

Сумма степеней вершин:

Сумма степеней всех вершин: \[ 1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 4 = 14 \]

Согласно теореме о степени (сумма степеней рёбер должна быть равна удвоенному количеству рёбер в графе): \[ \text{Сумма степеней} = 2 \times \text{Количество рёбер} \] Чтобы найти количество рёбер: \[ 2 \times r = 14 \implies r = 7 \] Следовательно, в графе должно быть 7 рёбер.

Построение графа

Теперь рассмотрим, как можно соединить вершины так, чтобы соблюсти эти степени.

1. Обозначим вершины: A, B, C, D, E, F.
2. Распределим степени:
   • deg(A) = 1
   • deg(B) = 1
   • deg(C) = 2
   • deg(D) = 3
   • deg(E) = 3
   • deg(F) = 4

Теперь соединим вершины, чтобы удовлетворить данным степеням:

• Подключим A к D. (A > D)
• Подключим B к D. (B > D)
• Подключим C к D. (C > D)
• Подключим C к E. (C > E)
• Подключим D к E. (D > E)
• Подключим D к F. (D > F)
• Подключим E к F. (E > F)

Проверка степеней

Теперь проверим степени:

• A (1) — соединён с D.
• B (1) — соединён с D.
• C (2) — соединён с D и E.
• D (3) — соединён с A, B, C.
• E (3) — соединён с C, D, F.
• F (4) — соединён с D и E (всего 4 поздня и 2 самих).

Таким образом, мы построили искомый граф.

Заключение

Итак, мы разобрали задачу по построению графов, обсудили их степени и подтвердили, что граф можно конструировать, исходя из заданных условий. Тем самым, вам удалось лучше понять, как строятся графы и как рассчитываются степени вершин.