Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся формулой, которая связывает количество вершин и рёбер в полном графе.
Определения:
- Полный граф ( K_n ) — это граф, в котором каждая пара различных вершин соединена ребром.
- В таком графе количество рёбер связано с количеством вершин ( n ) по формуле:
[
E = \frac{n(n - 1)}{2}
]
где ( E ) — количество рёбер, а ( n ) — количество вершин.
Шаги решения:
- У нас дано, что количество рёбер ( E = 91 ).
- Подставим это значение в формулу:
[
91 = \frac{n(n - 1)}{2}
]
- Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от деления:
[
182 = n(n - 1)
]
- Теперь у нас есть уравнение:
[
n(n - 1) - 182 = 0
]
- Это квадратное уравнение, которое можно привести к стандартному виду:
[
n^2 - n - 182 = 0
]
- Теперь решим его с помощью формулы дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -182 ):
[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-182) = 1 + 728 = 729
]
- Находим корни уравнения, используя формулу корней:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим значения:
[
n = \frac{1 \pm \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 27}{2}
]
- Найдем два возможных значения для ( n ):
[
n_1 = \frac{28}{2} = 14, \quad n_2 = \frac{-26}{2} = -13
]
Поскольку количество вершин не может быть отрицательным, оставляем только положительное значение.
Ответ: В полном графе с 91 ребром количество вершин равно 14.
