. Найди первый член геометрической прогрессии, если сумма первых пяти членов равна 7815, а знаменатель равен 9 -5.

Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии (ГП) может быть вычислена по формуле:

\[ S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q} \]

где:

• \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов,
• \( a \) — первый член прогрессии,
• \( q \) — знаменатель,
• \( n \) — количество членов.

В данном случае:

• \( S_5 = 7815 \),
• \( n = 5 \),
• \( q = 9 \).

Подставим известные значения в формулу:

\[ 7815 = a \frac{1 - 9^5}{1 - 9} \]

Сначала вычислим \( 9^5 \):

\[ 9^5 = 59049 \]

Теперь подставим это значение в уравнение:

\[ 7815 = a \frac{1 - 59049}{1 - 9} \]

\[ = a \frac{1 - 59049}{-8} \] \[ = a \frac{-59048}{-8} \] \[ = a \cdot 7381 \]

Теперь у нас есть:

\[ 7815 = a \cdot 7381 \]

Чтобы найти \( a \), разделим обе стороны уравнения на 7381:

\[ a = \frac{7815}{7381} \]

Проводим деление:

\[ a \approx 1.058 \]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии \( a \approx 1.058 \).