Задача 1. Световое табло состоит из лампочек, каждая из которых может находиться в двух состояниях: «включено» или «выключено». Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передавать 29 различных сигналов?

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала поймем, сколько различных состояний может принимать световое табло в зависимости от количества лампочек. Каждая лампочка может находиться в одном из двух состояний: включено (1) или выключено (0). Если у нас есть \( n \) лампочек, то общее количество различных комбинаций, которые можно получить с этими лампочками, составляет \( 2^n \). Это происходит из-за того, что каждая лампочка независимо может быть включена или выключена. Теперь нам нужно выяснить, сколько минимум лампочек \( n \) нам нужно, чтобы передавать 29 сигналов. Это значит, что нам нужно эффективно использовать лампочки, чтобы количество их состояний (комбинаций) было не меньше 29. Запишем неравенство: \[ 2^n \geq 29 \] Теперь найдем минимальное \( n \), которое удовлетворяет этому неравенству. Посчитаем значения \( 2^n \) для различных \( n \): - Для \( n = 1 \): \( 2^1 = 2 \) - Для \( n = 2 \): \( 2^2 = 4 \) - Для \( n = 3 \): \( 2^3 = 8 \) - Для \( n = 4 \): \( 2^4 = 16 \) - Для \( n = 5 \): \( 2^5 = 32 \) Теперь видим, что: - \( 2^4 = 16 \) не хватает, так как 16 < 29. - \( 2^5 = 32 \) уже достаточно, так как 32 ≥ 29. Таким образом, минимальное количество лампочек, необходимое для передачи не менее 29 различных сигналов, равно 5. **Ответ:** 5 лампочек.