В треугольнике MNKMNK угол MNKMNK равен 25∘25∘, MK=KNMK=KN. Найди внешний угол при вершине KK.
Чтобы решить задачу, давайте внимательно разберем условия и вспомним основные свойства треугольников.
Дано:
- Угол \( \angle MNK = 25^\circ \)
- \( MK = KN \) (стороны MK и KN равны)
Найдем угол при вершине K: Поскольку \( MK = KN \), треугольник \( MNK \) является равнобедренным, а это значит, что углы, напротив равных сторон, также равны.
Обозначим угол \( \angle MKM \) как \( x \). Тогда угол \( \angle NKM \) также будет равен \( x \). В равнобедренном треугольнике сумма всех углов равна \( 180^\circ \), поэтому:
\[ \angle MNK + \angle MKM + \angle NKM = 180^\circ \]
Подставим известные значения:
\[ 25^\circ + x + x = 180^\circ \]
Сложим и упростим:
\[ 25^\circ + 2x = 180^\circ \]
Выразим \( 2x \):
\[ 2x = 180^\circ - 25^\circ = 155^\circ \]
Теперь поделим на 2:
\[ x = \frac{155^\circ}{2} = 77.5^\circ \]
Таким образом, угол \( \angle MKM = 77.5^\circ \) и угол \( \angle NKM = 77.5^\circ \).
Теперь найдем внешний угол при вершине K: Внешний угол при вершине K (обозначим его \( \angle VKM \)) равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В нашем случае:
\[ \angle VKM = \angle MNK + \angle NKM \]
Подставим найденные значения:
\[ \angle VKM = 25^\circ + 77.5^\circ = 102.5^\circ \]
Таким образом, внешний угол при вершине K равен \( 102.5^\circ \).
