Объём куба ABCDA,B,C,D, равен 216. Точки К, М и Р - середины рёбер АВ, ВВ1, и ВС соответственно. Найдите объем пирамиды МКВР.

Для решения задачи начнем с выяснения ключевых моментов, среди которых — объём куба и координаты интересующих нас точек.

1. Находим длину ребра куба: Объём куба \( V \) рассчитывается по формуле: \[ V = a^3, \] где \( a \) — длина ребра куба. В нашей задаче: \[ a^3 = 216. \] Для нахождения \( a \) извлечем кубический корень: \[ a = \sqrt[3]{216} = 6. \] Следовательно, длина ребра куба равна 6.

2. Определим координаты вершин куба: Пусть куб задан следующим образом (в трёхмерной системе координат):

   • \( A(0, 0, 0) \)
   • \( B(6, 0, 0) \)
   • \( C(6, 6, 0) \)
   • \( D(0, 6, 0) \)
   • \( A_1(0, 0, 6) \)
   • \( B_1(6, 0, 6) \)
   • \( C_1(6, 6, 6) \)
   • \( D_1(0, 6, 6) \)

3. Находим координаты точек К, М и Р:

   • Точка \( K \) — середина ребра \( AB \): \[ K\left( \frac{0 + 6}{2}, 0, 0 \right) = (3, 0, 0). \]
   • Точка \( M \) — середина ребра \( BB_1 \): \[ M\left( 6, 0, \frac{0 + 6}{2} \right) = (6, 0, 3). \]
   • Точка \( R \) — середина ребра \( BC \): \[ R\left( 6, \frac{0 + 6}{2}, 0 \right) = (6, 3, 0). \]

4. Координаты вершин пирамиды МКВР:

   • \( M(6, 0, 3) \)
   • \( K(3, 0, 0) \)
   • \( B(6, 0, 0) \)
   • \( R(6, 3, 0) \)

5. Вычислим объём пирамиды: Объём пирамиды можно найти по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h, \] где \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота.

   Площадь основания (треугольник MKB): Вершины:

   • \( M(6, 0, 3) \)
   • \( K(3, 0, 0) \)
   • \( B(6, 0, 0) \)

   Чтобы найти площадь треугольника, используем формулу: \[ S = \frac{1}{2} \cdot | \overrightarrow{MK} \times \overrightarrow{MB} |. \] Сначала найдем векторы: \[ \overrightarrow{MK} = (3 - 6, 0 - 0, 0 - 3) = (-3, 0, -3) = (-3, 0, -3), \] \[ \overrightarrow{MB} = (6 - 6, 0 - 0, 0 - 3) = (0, 0, -3). \]

   Теперь находим векторное произведение: \[ \overrightarrow{MK} \times \overrightarrow{MB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -3 \end{vmatrix}. \] Вычисляем: \[ = \mathbf{i}(0 \cdot (-3) - (-3) \cdot 0) - \mathbf{j}(-3 \cdot (-3) - (-3) \cdot 0) + \mathbf{k}(-3 \cdot 0 - 0 \cdot (-3)). \] Это равно: \[ = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(9) + \mathbf{k}(0) = -9\mathbf{j}. \]

   Длина \( | \overrightarrow{MK} \times \overrightarrow{MB} | = 9 \).

   Площадь основания: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4.5. \]

6. Высота пирамиды: Высота \( h \) — это перпендикулярное расстояние от точки \( M(6, 0, 3) \) до плоскости, в которой лежит треугольник \( BKR \). Плоскость \( BKR \) имеет уравнение: \[ z = 0, \] так как все его точки имеют \( z = 0 \). Высота \( h \) равна: \[ h = 3. \]

7. Подставляем в формулу объёма: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4.5 \cdot 3 = 4.5. \]

Таким образом, объём пирамиды \( МКВР \) равен 4.5.