За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки не окажутся за столос рядом

Для решения задачи о вероятности того, что две девочки не окажутся рядом за круглым столом, следуем следующим шагам. ### Шаг 1: Общее количество способов рассадки 1. **Общее число мест**: У нас 9 мест за круглым столом. 2. **Сначала распорядим мальчиков**: Когда рассаживают людей за круглым столом, один из них можно зафиксировать, чтобы избежать дублирования комбинаций при круговой симметрии. Таким образом, мы можем разместить 6 оставшихся мальчиков. Общее количество способов посадить 7 мальчиков будет равно \(6!\). \[ 6! = 720 \] 3. **Теперь добавим девочек**: После рассадки мальчиков у нас остаётся 2 свободных места, рядом с которыми могут сидеть девочки. Значит, нужно выбрать 2 места из 7 свободных, так как у нас 7 мальчиков занимают 7 кресел из 9. Количество способов выбрать, куда сесть девочкам, можно рассчитать по формуле сочетаний: \[ \binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \] 4. **Рассадка девочек**: Девочек можно рассадить по выбранным местам двумя способами: \[ 2! = 2 \] 5. **Общее количество способов рассадки**: Учитывая все перечисленные варианты, общее количество способов расставить 7 мальчиков и 2 девочек равно: \[ 6! \times \binom{7}{2} \times 2! = 720 \times 21 \times 2 = 30240 \] ### Шаг 2: Количество способов, при которых девочки оказываются рядом Для того чтобы найти количество способов, при которых девочки сидят рядом, мы можем рассмотреть двух девочек как один "блок", тогда у нас появляется 8 "людей" (7 мальчиков + 1 блок девочек): 1. **Расстановка 8 "людей" за столом**: - Зафиксируем одного из мальчиков, чтобы избежать симметрии. У нас будет \(7!\) способов расставить 7 мальчиков и 1 блок девочек: \[ 7! = 5040 \] 2. **Внутри блока**: Как уже упоминалось, девочек можно расположить внутри своего блока двумя способами: \[ 2! = 2 \] 3. **Общее количество способов рассадки при условии, что девочки рядом**: \[ 7! \times 2! = 5040 \times 2 = 10080 \] ### Шаг 3: Вероятность того, что девочки не окажутся рядом Теперь нам необходимо найти вероятность того, что девочки не окажутся рядом. Мы используем следующую формулу: \[ P(\text{не рядом}) = 1 - P(\text{рядом}) \] Сначала найдём вероятность того, что девочки сидят рядом: \[ P(\text{рядом}) = \frac{\text{количество способов, при которых девочки рядом}}{\text{общее количество способов рассадки}} = \frac{10080}{30240} = \frac{1}{3} \] Теперь подставим значение в вышеуказанную формулу: \[ P(\text{не рядом}) = 1 - P(\text{рядом}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] ### Ответ Таким образом, вероятность того, что обе девочки не окажутся рядом за круглым столом, составляет \(\frac{2}{3}\).