3 примера системы уравнений

Давайте рассмотрим три примера систем линейных уравнений и решим каждую из них. Для начала напомним, что система уравнений — это набор уравнений, которые необходимо решить одновременно. ### 1. Пример 1: **Система уравнений:** 1) \( x + y = 5 \) 2) \( 2x - y = 1 \) **Шаг 1: Решение первого уравнения относительно y.** Из первого уравнения мы имеем: \[ y = 5 - x \] **Шаг 2: Подставляем y во второе уравнение.** Теперь подставим найденное значение y во второе уравнение: \[ 2x - (5 - x) = 1 \] Упрощаем это: \[ 2x - 5 + x = 1 \] \[ 3x - 5 = 1 \] Добавим 5 к обеим сторонам: \[ 3x = 6 \] Разделим на 3: \[ x = 2 \] **Шаг 3: Подставляем x в первое уравнение.** Теперь подставим значение x в \( y = 5 - x \): \[ y = 5 - 2 \] \[ y = 3 \] **Ответ:** Решение системы: \( x = 2, y = 3 \). ### 2. Пример 2: **Система уравнений:** 1) \( 3x + 2y = 12 \) 2) \( x - 4y = -2 \) **Шаг 1: Решение первого уравнения относительно y.** Решим первое уравнение: \[ 2y = 12 - 3x \] \[ y = \frac{12 - 3x}{2} \] **Шаг 2: Подставляем во второе уравнение.** Теперь подставим \( y \) во второе уравнение: \[ x - 4\left(\frac{12 - 3x}{2}\right) = -2 \] Упрощаем: \[ x - (24 - 12x) = -2 \] \[ x - 24 + 12x = -2 \] \[ 13x - 24 = -2 \] Добавляем 24: \[ 13x = 22 \] Делим на 13: \[ x = \frac{22}{13} \] **Шаг 3: Подставляем x в первое уравнение.** Теперь подставляем x в уравнение для y: \[ y = \frac{12 - 3 \cdot \frac{22}{13}}{2} \] \[ y = \frac{12 - \frac{66}{13}}{2} = \frac{\frac{156}{13} - \frac{66}{13}}{2} = \frac{\frac{90}{13}}{2} = \frac{45}{13} \] **Ответ:** Решение системы: \( x = \frac{22}{13}, y = \frac{45}{13} \). ### 3. Пример 3: **Система уравнений:** 1) \( 4x - y = 1 \) 2) \( 3y + 2x = 12 \) **Шаг 1: Решение первого уравнения относительно y.** Сначала выразим y из первого уравнения: \[ y = 4x - 1 \] **Шаг 2: Подставляем во второе уравнение.** Теперь подставим y во второе уравнение: \[ 3(4x - 1) + 2x = 12 \] Упрощаем: \[ 12x - 3 + 2x = 12 \] \[ 14x - 3 = 12 \] Добавляем 3: \[ 14x = 15 \] Разделим на 14: \[ x = \frac{15}{14} \] **Шаг 3: Подставляем x в первое уравнение.** Теперь подставим x в уравнение для y: \[ y = 4\left(\frac{15}{14}\right) - 1 = \frac{60}{14} - 1 = \frac{60}{14} - \frac{14}{14} = \frac{46}{14} = \frac{23}{7} \] **Ответ:** Решение системы: \( x = \frac{15}{14}, y = \frac{23}{7} \). ### Заключение Мы рассмотрели три примера систем уравнений и решили их пошагово. Если у вас есть вопросы или вы хотите рассмотреть другие примеры, дайте знать!