3 примера системы уравнений

Давайте рассмотрим три примера систем линейных уравнений и решим каждую из них. Для начала напомним, что система уравнений — это набор уравнений, которые необходимо решить одновременно.

1. Пример 1:

Система уравнений:

1. \( x + y = 5 \)
2. \( 2x - y = 1 \)

Шаг 1: Решение первого уравнения относительно y.
Из первого уравнения мы имеем: \[ y = 5 - x \]

Шаг 2: Подставляем y во второе уравнение.
Теперь подставим найденное значение y во второе уравнение: \[ 2x - (5 - x) = 1 \]
Упрощаем это:
\[ 2x - 5 + x = 1 \]
\[ 3x - 5 = 1 \]
Добавим 5 к обеим сторонам:
\[ 3x = 6 \]
Разделим на 3:
\[ x = 2 \]

Шаг 3: Подставляем x в первое уравнение.
Теперь подставим значение x в \( y = 5 - x \): \[ y = 5 - 2 \]
\[ y = 3 \]

Ответ:
Решение системы: \( x = 2, y = 3 \).

2. Пример 2:

Система уравнений:

1. \( 3x + 2y = 12 \)
2. \( x - 4y = -2 \)

Шаг 1: Решение первого уравнения относительно y.
Решим первое уравнение: \[ 2y = 12 - 3x \]
\[ y = \frac{12 - 3x}{2} \]

Шаг 2: Подставляем во второе уравнение.
Теперь подставим \( y \) во второе уравнение: \[ x - 4\left(\frac{12 - 3x}{2}\right) = -2 \]
Упрощаем:
\[ x - (24 - 12x) = -2 \]
\[ x - 24 + 12x = -2 \]
\[ 13x - 24 = -2 \]
Добавляем 24:
\[ 13x = 22 \]
Делим на 13:
\[ x = \frac{22}{13} \]

Шаг 3: Подставляем x в первое уравнение.
Теперь подставляем x в уравнение для y: \[ y = \frac{12 - 3 \cdot \frac{22}{13}}{2} \]
\[ y = \frac{12 - \frac{66}{13}}{2} = \frac{\frac{156}{13} - \frac{66}{13}}{2} = \frac{\frac{90}{13}}{2} = \frac{45}{13} \]

Ответ:
Решение системы: \( x = \frac{22}{13}, y = \frac{45}{13} \).

3. Пример 3:

Система уравнений:

1. \( 4x - y = 1 \)
2. \( 3y + 2x = 12 \)

Шаг 1: Решение первого уравнения относительно y.
Сначала выразим y из первого уравнения: \[ y = 4x - 1 \]

Шаг 2: Подставляем во второе уравнение.
Теперь подставим y во второе уравнение: \[ 3(4x - 1) + 2x = 12 \]
Упрощаем: \[ 12x - 3 + 2x = 12 \]
\[ 14x - 3 = 12 \]
Добавляем 3: \[ 14x = 15 \]
Разделим на 14: \[ x = \frac{15}{14} \]

Шаг 3: Подставляем x в первое уравнение.
Теперь подставим x в уравнение для y: \[ y = 4\left(\frac{15}{14}\right) - 1 = \frac{60}{14} - 1 = \frac{60}{14} - \frac{14}{14} = \frac{46}{14} = \frac{23}{7} \]

Ответ:
Решение системы: \( x = \frac{15}{14}, y = \frac{23}{7} \).

Заключение

Мы рассмотрели три примера систем уравнений и решили их пошагово. Если у вас есть вопросы или вы хотите рассмотреть другие примеры, дайте знать!