Докажите , что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны

Чтобы доказать, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны, давайте сначала представим ситуацию и введем необходимые обозначения. ### Шаг 1: Определим хорды и расстояние до центра Пусть у нас есть окружность с центром O и двумя хордами AB и CD, которые равноудалены от центра этой окружности. Это значит, что расстояние от центра O до хорды AB (обозначим его d₁) и расстояние от центра O до хорды CD (обозначим его d₂) одинаковое: d₁ = d₂. ### Шаг 2: Построим перпендикуляры Для каждой из хорд (AB и CD) проведем перпендикуляры от центра O до каждой из хорд: - Пусть перпендикуляр к AB проходит через точку P. - Пусть перпендикуляр к CD проходит через точку Q. Так как расстояния d₁ и d₂ равны, то OP = OQ = d. ### Шаг 3: Используем свойства окружности В окружности радиусы, проведенные к концам хорды, имеют одинаковую длину, так как все радиусы окружности равны. Обозначим радиус окружности через R. Тогда: - Отрезки OA и OB — радиусы, проведенные к концам хорды AB. - Отрезки OC и OD — радиусы, проведенные к концам хорды CD. ### Шаг 4: Применим теорему Пифагора В треугольнике OAP, где AP — это половина длины хорды AB, и OP — это высота, по теореме Пифагора можем записать: \[ OA^2 = OP^2 + AP^2 \] Так как R – это радиус, то мы можем записать: \[ R^2 = d^2 + AP^2 \quad (1) \] Для треугольника OCQ аналогично: \[ OC^2 = OQ^2 + CQ^2 \] \[ R^2 = d^2 + CQ^2 \quad (2) \] ### Шаг 5: Сравниваем длины хорд Из (1) и (2) мы имеем: \[ d^2 + AP^2 = d^2 + CQ^2 \] Теперь, убираем \(d^2\) из обеих сторон: \[ AP^2 = CQ^2 \] Это означает, что \(AP = CQ\). ### Шаг 6: Находим длины хорд Теперь, так как AP и CQ – это половины соответственно хорд AB и CD, то: \[ AB = 2 \cdot AP \] \[ CD = 2 \cdot CQ \] Подставим: \[ AB = 2 \cdot AP = 2 \cdot CQ = CD \] ### Заключение Таким образом, мы доказали, что если хорды окружности равнов удалены от её центра, то они имеют одинаковую длину: \( AB = CD \). Если есть дополнительные вопросы по этому доказательству или связанные с окружностями, не стесняйтесь задавать!